ASYMPTOTES DES COURBES PLAIDES
La différence des ordonnées de la courbe et de son asymptote , pour la même abscisse y étant égale au quotient de 8 par le cosinus de Tangle de l'asymptote avec laxe des a:, converge vers zéro quand x converge vers uoe valeur infinie. En même temps, l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des x converge vers une limite, qui est la valeur de l'angle formé par l'asymptote avec le même axe.
L'équation (^) deviendra celle d'une asymptote, si la supposition de ^ ou de / infini y fait évanouir tous les termes qui renferment ces variables, de manière que Téquation ne contienne plus que les coordonnées courantes Ç,y| et des paramètres constants. En conséquence OD substituera dans cette équation la valeur de^ en x tirée de l'équation de la courbe; puis on fera a: =±00 , ce qui donnera toutes les asymptotes non parallèles à Taxe des jr. On trouvera ces dernières en substituant la valeur de x en /, et en faisant ensuite j-zz: db oo .
Si nous prenons l'équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses axes^ savoir
nous aurons pour l'équation de la tangente,
Par la substitution de la valeur de jy en x cette équation devient
et quand on y fait x=±:oo , elle se réduit à
a équation double , qui donne celles des deux asymptotes
316 LIVRE IV. CHAPITRE ï.
de l'hyperbole 9 comme on l'a vu en étudiant les sections coniques.
L'équation de la tangente à la lagarithmique^=logj: étant
la supposition x=±qo ne donne point d'asymptotes, après qu'on y a substitué pour jr sa valeur en x; mais si l'on y substitue au contraire la valeur de x en ^, cette équation devient
et quand on y fait jr== — oo , elle se réduit à $=o: par conséquent l'axe des j est une asymptote de la courbe.
La méthode précédente demande à être modifiée dans le cas oii l'équation de la courbe n'est pas résoluble par rapport à^ et à x. Soit y =z ma: -+- n l'équation d'une asymptote non parallèle à l'axe des y;
on en tirera
de sorte que, quand x convergera vers l'infini, la va-
leur du rapport — convergera vers la constante m. Donc,
si l'on fait dans l'équation de la courbe^=a jî, et qu'on cherche la limite de la nouvelle variable a pour .2:=: ±x , celte limite, quand elle existera, sera une valeur de la constante m. Si l'on fait ensuite, dans l'équation de la courbe,
et qu'on cherche pareillement la limite vers laquelle converge la variable p, quand x converge vers les valeurs
EMPLOI ÛHS GOORDONNliES POLAIRES. 317
± oo , cette limite sera une valeur de la constante n.
On trouverait de la même manière les asymptotes non parallèles à Taxe des x, et par conséquent les asymptotes parallèles à Taxe des /.
Prenons pour exemple \efoliian de Descartes (y^. 44)? dont l'équation, déjà discutée sous un autre point de
vue [i5a], est
x^ — 'iaxy + j' =: o :
l'équation en a,.r devient
d'où l'on conclut y pour la limite de a,/w=± — i. Faisant ensuite jr-f-^=P , on a, pour l'équation en p,a;,
ce qui donne, pour la limite de p, /^= — a. En conséquence, la droitiB^-|-.r-|-a=:o est une asymptote de la courbie proposée.
§ 3. Emploi dés coordonnées polaires.
179. On passe de l'équation d'une courbe en coôr*données rectangulaires , à son équation en Coordonnées polaires, en posant
xz=. ;*cos(p , / = rsin9 :
r désigne alors le rayon vectieur mené de l'origine des coordonnées (qui prend le nom de pôle) au point {x^\ et <p l'angle formé par ce rayon vecteur avec le demiaxe des X positifs. On tire de ces équations
dx=drcosff — rsin<prf(p, rf/=:£/rsin<p-t-rcosç^(p , (/) et par suite
^^|tang^r ^ ^^^ »+£tangy ' dx dr d9 ' dy
Mais^ si l'on appelle 0 l'angle de la tangente au point {xyf) avec l'axe des or, dans le sens des x positifs , on a
dr , dr i+tangô. tang<p . . ..
-f-=tangÔ,-T- = ^ ^ = cot(Ô— (p) . (/)
dx ^ ^rd^ tango — tan g 9 ^ ^^ ^^
L'angle 6 — <p est celui que la tangente à la courbe forme avec le rayon vecteur du point de contact : on peut donc calculer cet angle par la formule (y ) et construire la tangente, quand l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires. Si l'on mène par le pôle une perpendiculaire au rayon vecteur, elle coupera la tangente en un point dont la distance au pôle est
/?=rtang(6— ç)=r»^- {k)
Par analogie on donne quelquefois à la ligne /? le nom de sous 'tangente.
La formule (y ) se démontre directement par une construction très-simple. Soient m^nti {Jig. 45) deux points d'une courbe infiniment voisins , de manière que la droite m t, tangente à la courbe en m, puisse être prise pour le prolongement de Tare infiniment petit mmi. O est le pôle, et OX la droite à partir de laquelle les angles ^ sont mesurés. Si l'on décrit du rayon Ont l'arc de cercle infiniment petit m\Lj on aura m\L^=rd^ ^uni=dr: on pourra regarder m (^//Zi comme un triangle rectiligne et rectangle en (^ , ce qui donnera
tangfx^;n.=-^ .
Mais on peut aussi regarder le secteur infiniment petit Om\L comme un triangle rectangle en m, d'où tangfx/w/7ij==cot(ô — cp).
180. La longueur s d'un arc de courbe, mesurée à partir d'un point fixe pris sur la courbe, étant une
