EMPLOI DES COORDONN£ES POLAIRES
grandeur dont la définition ne dépend pas du système de coordonnées qu'on emploie, il suffit, pour obtenir Texpression de ds en coordonnées polaires, de substituer à dx et à dj^ dans la formule
di* = rfa^ + rfr*, leurs valeurs tirées des équations (e), ce qui donne
fi;i> = rfr» + r»rf(p* . (/)
La construction précédente donne aussi ce résultat trèsdirectement, puisqu'elle conduit à considérer mrrix comme Thypoténuse du triangle m [xmi, rectangle en (x. On entend par Taire d'une courbe, rapportée à des coordonnées polaires, l'espace compris entre cette courbe, un rayon vecteur fixe, et le rayon vecteur mobile Om. Ainsi , quand le rayon vecteur mobile passe de la position Om à la position infiniment voisine Orrix , l'aire que nous appellerons u^ augmente de la surface du triangle infinitésimal Ommij dont on peut considérer Om^ comme la base et m |x comme la hauteur. On a donc
rfa==:i (r-f-rfr)rrfçp , et en négligeant Tinfiniment petit du second ordre,
La différentielle de l'aire, mesurée de la même manière, mais exprimée en coordonnées rectangulaires, est
ce qui résulte de ce qu'on a
r^=a-+jr% d^^d (arc tg;^^ =^ j^~^f^ > {n)
A cause de l'importance des formules (w), {ri) en mécanique et en astronomie, on peut désirer d'en avoir une démonstration par les limites. En conséquence remarquons que lorsque le rayon vecteur se transporte de Om en Oz/z, , les variables r et <p augmentant de Ar, A<p,
Taire reçoit raccroissement A u égal à la surface du secteur Ommx. Or , l'aire de ce secteur est comprise entre celles de deux secteurs circulaires de même angle , ayant pour rayons , l'un r, l'autre r-|-Ar; c'est-à-dire que l'on a , Ar étant supposé positif ,
Aa >|r* A<p, Ai«< l(rH-Ar)*A<p.
Mais le rapport
i(r+Ar)'Ay
a l'unité pour limite, quand A <p , A r convergent vers zéro : donc le rapport
a aussi l'unité pour limite; ce qui établit l'équatioti {m), 181. Lorsque l'équation d'une courbe en coordonnées polaires est de la forme r=z=/<p,y<p étant une fonction qui reste réelle pour toutes les valeurs réelles de <p , et qui croît ou décroît indéfiniment avec (p, la courbe prend le nom de spirale : elle coupe en une infinité de points chaque droite menée par le pôle; et l'arc compris entre deux intersections consécutives de la courbe par le même rayon vecteur prend le nom de spire. D'ailleurs les propriétés géométriques de ces courbes ne sont guère qu'un objet de pure curiosité.
La spirale d Archimède est celle .dont l'équation
a la forme la plus simple. On peut concevoir qu'elle est décrite par un point m {fig. Ifi) qui se meut avec une vitesse constante sur une droite mobile M N passant par le pôle O, tandis que la droite M N tourne ellemême autour de O avec une vitesse angulaire constante, c'est-à-dire, en décrivant des arcs égaux en temps
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égaux. Il faut admettre aussi que, quand le point m passe par le pôle, la droite mobile MN coïncide avec la droite fixe O X, à partir de laquelle les angles 9 sont mesurés.
On peut toujours supposer positif le paramètre a qui mesure la longueur que le point m parcourt sur la droite MN, tandis que cette droite décrit un angle qui est à la demi-circonférence dans le rapport de i àir. La constante a étant positive, r deviendra négatif avec ç; et il est évident, d'après la loi du mouvement, que les valeurs négatives du rayon vecteur devront être mesurées en sens inverse des valeurs positives. Ainsi, lorsque OM fait avec OX l'angle positif MOX, le rayon vecteur sera mesuré de O en m; mais auparavant OM avait fait avec OX Tangle négatif M'OX, et alors le point mobile m se trouvait en m\ de sorte que le rayon {^nî doit être mesuré en sens contraire de OM'.
La spirale d'Archimède comprend donc deux systèmes de spires inversement disposés, et qui se raccordent à l'origine : si l'on supprimait un de ces systèmes en arrêtant brusquement la courbe à l'origine, on n'aurait point égard à la loi de continuité dans le mouvement composé d'où résulte la description de la courbe.
L'équation de cette spirale donne
tang(e— (p)=- = 9,
en sorte que la courbe touche à l'origine la droite OX. On a aussi, d'après la formule (X:),
Soit R=aa7r, de manière qu'à chaque révolution du point décrivant, le rayon vecteur augmente de R : il T. I. ai
322 UVRK IV. CHAPITRE I.
viendra
ce qui donne la valeur très-simple, trouvée par Archimède^ /?= 2 itR, lorsque (p=:2ir.
On nomme spirale hyperbolique {fig. 47) celle qui a pour équation
d'oïl
tang(e<p)=: — <p'.
Cette courbe décrit une infinité de révolutions autour du pôle dont elle s'approche indéfiniment sans jamais l'atteindre, puisqu'il faudrait donner à 9 une valeur infinie pour que r s'évanouît. Elle a pour asymptote la droite dont l'équation en coordonnées rectangulaires serait /*=a^ le demi-axe des x positifs étant la droite à partir de laquelle on mesure les angles 9. En effet , l'équation (/?) devient dans ce système de coordonnées
sin 9
rz=,a ^>
ce qui donne x^^^9 pour 9=0.
Si Ton a égard aux valeurs négatives de f et que Ton construise les valeurs négatives de r qui leur correspondent, ainsi que nous l'avons indiqué pour la spirale d'Archimède, la spirale logarithmique aura deux branches symétriques. Mais comme il existe toujours une solution de continuité entre les deux branches ainsi construites , cette extension donnée à la construction de l'équation (/?) reste purement conventionnelle et ne derive pas (de même que pour la spirale d'Archimède) de la nécessité de maintenir la continuité du mouvement en vertu duquel la courbe est décrite.
BMPXiOI DES GOORDONiriES POLAIRES. 323
La spirale logarithmique est celle qui a pour équation
f =— log r , ou r = e^'\ m
elle fait, comme la spirale hyperbolique^ une infinité de
révolutions autour du pôle, sans jamais Tatteindre, mais
elle n'a pas d'asymptote. La formule (y) donne pour
cette courbe
cot (6 — <p) = m ;
ce qui exprime que le rayon vecteur forme avec la tangente un angle constant, propriété remarquable et qu'il convient de prendre pour la définition géométrique de * la courbe [i75].
ai.
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