DES ENVELOPPES DES LIGNES PLANES

être, qu'une seule valeur réelle, pour toutes les valeurs réelles de a: et de /.

A la vérité, pour a:=o,/=o, la valeur de j*' se présente sous la forme indéterminée ~; mais en appliquant la méthode du n^ i4a à la recherche de la vraie valeur de /% on tombe sur l'équation /'*= — i, dont les racines sont imaginaires.

Il peut arriver aussi que les lignes comprises dans la série {a) se coupent toutes en un même point; et ceci doit avoir lieu lorsque les valeurs des coordonnées de ce point donnent à /'^ en vertu de l'équation (é), une valeur réellement indéterminée. Ainsi l'équation jr — aoc=o appartient à une série de droites qui se coupent toutes à l'origine des coordonnées ; et Téquation (A) devenant dans ce cas^'o: — j=:o^ on trouve que l'indétermination de j\ pour les valeurs a:=o,jr=o, ne peut être levée^ -^.^^^^^^

183. Au contraire, si l'équation (é) est telle, qu'elle donne à y plusieurs valeurs réelles , pour une infinité de systèmes de valeurs réelles de x et de j^ les courbes de la série (a) se coupent en un ou plusieurs points. Pour plus de simplicité nous admettrons que deux courbes prises dans la série n'ont qu'un seul point d'intersection : cette supposition ne changera rien à l'analyse et facilitera les raisonnements.

Désignons par a et par a-[^Aa deux valeurs distinctes du paramètre : les courbes qui correspondent à ces valeurs particulières ont pour équations

F(a?,/,a-f-Aa) = o; {a,)

les coordonnées du point d'intersection sont les valeurs de Xyfy tirées du système de ces deux équations.

Ces coordonnées varieront, et le point se déplacera sur la première courbe quand on prendra A a de plus en plus petit. Passons à la limite en supposant À a infiniment petit : l'équation {ax) deviendra

F(^, j,û)4-^rf« = o;

en sorte que le système des équations (a), («i) sera remplacé par

F(ar,jr, a) =o , (a)

et les valeurs de Xyjr^ tirées de ce nouveau système , seront les limites dont s'approchent indéfiniment les valeurs des mêmes coordonnées, tirées du système (a), («ij, quand on fait décroître indéfiniment A a.

En d'autres termes, le point {x^y) ainsi déterminé eist le point d'intersection des deux courbes infiniment voisines qui ont respectivement pour équations F(^,7,a) = o, F (^,7, a + da) = o .

Ce point se déplace quand on change la valeur du paramètre; il décrit sur le plan une ligne continue quand on fait varier ce paramètre sans discontinuité; et d'après les premières notions de la géométrie analytique , l'isquation de cette ligne

?(^ir) = o, (a)

s'obtient par l'élimination de a entre les équations (a), {a'). La ligne (a) jouit d'une propriété remarquable , celle de toucher toutes les lignes de la série (a). Effectivement l'équation (a) n'est autre chose que l'équation (a) ' oîi l'on a mis pour a sa valeur en fonction de x^y, tirée de l'équation (a'). On peut donc, au lieu de diffé^

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rentier immédiatement l'équation (a) pour déterminer la tangente à la courbe que cette équation représente , différentier Téquation (a) en y regardant la quantité a, non plus comme un paramètre constant, mais comme une fonction des variables x, y^ ce qui donne ( à cause que la variable^ est elle-même une fonction de oc)

ou plus simplement

dF ,dF

puisque l'expression en x^y^ qu'il faut substituer pour Uy est précisément celle qui satisfait à l'équation {à).

Donc, pour le point commun aux deux courbes (a), (ce), la dérivée /' a la même valeur, quelle que soit celle des deux courbes que l'on considère, ce qui revient à dire que les deux courbes ont en ce point une tangente commune, ou se touchent mutuellement.

On donne aux courbes de la série (a) le nom d'e/^^e* loppéeSf el à la courbe (a) le nom àierweloppey parce qu'elle touche ou enveloppe toutes les courbes (a).

On donne aussi à la courbe enveloppe le nom de ligne de contacty parce qu'elle est le lieu des points de contact de deux enveloppées infiniment voisines; ou (ce qui signifie la même chose) parce que le point d'intersection de deux enveloppées de plus en plus voisines, se rapproche indéfiniment de la ligne enveloppe , en même temps que les tangentes des deux enveloppées au point d'intersection tendent indéfiniment vers la coïncidence.