Pour fixer les idées par un exemple, prenons l'équation

y^ax ~^ ^ W

qui est celle de la parabole que décrirait dans le vide un point matériel pesant, lancé de l'origine des coordonnées sous l'angle de projection dont la tangente est Uy les ordonnées y étant mesurées verticalement du bas en haut ('). Si l'on fait varier sans discontinuité l'angle de projection et par suite le paramètre à, on obtient une infinité de paraboles dont l'enveloppe a pour équation, d'après les formules ci-dessus,

^ = v(f — r) ,ou/?»~2/?7— ^ = o^ (y)

de sorte que cette enveloppe est une autre parabole, ayant son foyer à l'origine {fi^. 48).

Il peut arriver que l'enveloppe (a) touche les courbes . comprises dans une portion de la série {a) et ne touche pas celles des courbes (a) qui appartiennent à une autre portion de la série. Imaginons que le centre d'un cercle de rayon variable se meuve sur l'axe des abscisses (/?^. 49)1 de manière que l'abscisse OP du centre de ce cercle et son rayon P M soient l'abscisse et l'ordonnée de l'ellipse AB A'B' qui a pour équation

l'équation commune à la série des cercles dont il s'agit, est

a désignant l'abscisse du centre ; et de là on déduit

(') Traité de Mécanique , par M. Poisson, 1. 1, p. 897.