DE^ ENVBLOPPES DES LIGNES PLANES

pour Téquation de la courbe enveloppe , qui est une autre ellipse aBa'B'^ concentrique avec la première, ayant le même axe BB' et l'axe aa'>AA'. Or, pour

toutes les valeurs de a comprises entre . .■ et m ,

les cercles infiniment voisins ne se touchent plus et ne touchent plus Tel lipse enveloppe; puisque le système des équations (a), (a) donne

m' ' nr

Son résulte pour jr une valeur imaginaire dès que a

185. Quand une ligne est donnée par une équation F(^,7,a,*)=:o, dans laquelle entrent deux paramètres Uy b, on peut se proposer d'établir entre a, b une liaison telle, que les enveloppées engendrées par la variation continue du paramètre Uy aient pour enveloppe une ligne donnée

Dans ce cas, les dérivées de F et de ^ devant donner pour y la même valeur, on a, en éliminant^' entre

ces dérivées,

dF do rfF d<^ dx dy djr dx '

après quoi, l'élimination de x^y entre les trois équations que l'on vient d'écrire , conduit à l'équation cherchée entre les paramètres Uy b.

Soit, par «xemple,

/*-|-aaa;-+-i = o l'équation d'une parabole dont le grand axe coïncide avec celui des Xy et

l'équation d'un cercle qui doit devenir la ligne de contact de toutes les paraboles représentées par la première équation , quand on y fera varier Uy après avoir établi une liaison convenable entre a et 6 : on a , en différentiant ces deux équations ,

d'où .r=: a. Cette valeur de Xy substituée dans l'équation de la parabole et danâ celle du cercle, donne y* + 2^z* H-i=o, /*-|-a* — r*=:o ;

et par suite

en sorte que l'équation des enveloppées, où le paramètre a reste arbitraire, prend la forme

/* -f- a<ur— ( a" + r* ) = o •

186. Il peut se faire que l'enveloppe soit une des enveloppées, ou que l'équation de l'enveloppe se tire de l'équation générale des enveloppées, par l'attribution d'une valeur déterminée au paramètre variable. C'est ce qui arrive lorsque la valeur de a en fonction de x^jj tirée de l'équation {a\ se réduit, en vertu de l'équation (a) propre à l'enveloppe, à une valeur constante, qui pourrait être zéro ou l'infini. Prenons, par exemple, pour l'équation des enveloppées

(a?* 4-/* — ^) (^ — iax)-\-{f' — r»)a» = o : nous tirerons de l'équation (a')

et cette valeur de a, substituée dans la proposée, donne pour l'équation de l'enveloppe