DES ENVELOPPES DES UGICES PLANES

Or celle-ci rend nulle la valeur de a four^iie par l'équation précédente; et en effet, il est clair <i[ue l'équation de l'enveloppe se tire, dans ce cas particulier, de l'équation générale des enveloppées, par l'attribution au paramètre a de la valeur particulière zéro. Mais, en général, les variables Xyy ne disparaissent point de la valeur de ^ï tirée de l'équation {d\ et par suite l'enveloppe n'appartient pas à la série des enveloppées.

Ceci rend raison, au moins en ce qui concerne les équations différentielles du premier ordre, de l'existence de ces intégrales ou solutions singulières', dont il a été question au n^ 164. Il est clair que l'équation {ci) est l'intégrale générale de l'équation {b)\ que la série des enveloppées correspond à la série des intégrales particulières; et que l'intégrale singulière de l'équation (À) est l'équation (a) de Tenveloppe, qui, en général, ne coïncide pas avec l'une des enveloppées, bien que son équation satisfasse aussi à l'équation (é), puisqu'on en tire pour y une valeur en Xyj, identique à celle qui se tire de l'équation (a), après qu'on a chassé de celle-ci le paramètre a.

187. Les deux enveloppées qu'on obtient en attribuant au paramètre a les valeurs distinctes a, a-^-S.a, ont en général un point d'intersection [i83]; et pour les valeurs de x, y qui appartiennent à un point d'intersection , la valeur de a en fonction de Xj^j tirée de l'équation (a), est au moins double, puisqii'il doit y avoir une valeur de a correspondant à chacune des enveloppées qui se coupent en ce point. Mais sur la Ugne même de contact il n'y a plus d'intersection; d'oii il faut conclure que plusieurs des valeurs de a en fonction de x^y, tirées de l'équation (a), deviennent égales

pour les valeurs de x^j qui satisfont à Téquation de la ligne de contact. Ainsi l'équation (c) donne

^^P^^yp' — '^PÏ — ^ ^

et les deux valeurs dea deviennent égales pour les points situés sur la ligne enveloppe (y). Or, on sait, par la théorie des équations algébriques, que l'équation {a) exprime précisément la condition pour que Téquation (a), censée algébrique et rationnelle par rapport à l'inconnue a^ acquière des racines égales.

Si l'équation {a) a été résolue par rapport à a^ et mise sous la forme

il faut concevoir que l'équation (a) est multiple, à cause des radicaux qui entrent dans sa composition et des doubles signes qu'ils entraînent avec eux, de façon qu'elle équivaut à plusieurs équations distinctes

a — f.(^,7)=:o, a— f,(a;,7) = o, etc. (a,) Ainsi l'équation (c) donne par la résolution ces deux équations distinctes

.pM/p'—'^Pï—^,

L'équation (ca) subsiste pour tous les points de la parabole enveloppée situés sur la portion m O de la courbe {Jig. 48); et l'équation (ci) subsiste à son tour pour tous les points situés sur la portion mn. En effet, le binôme ax — /?, dont le premier terme représente Fordonnée variable de la tangente O/, et dont le second terme est une constante égale au paramètre de la parabole enveloppe, est évidemment négatif quand x s'éva-