DES ENVELOPPES D^ LIGNES PLANES

nouit; il diminue numériquement de valeur pour des valeurs croissantes de x^ jusqu'à ce qu'il s'annule quand X devient l'abscisse du point de contact de l'enveloppe et de l'enveloppée; après quoi, la valeur de x continuant à croître, il prend nécessairement une valeur négative. 188. Lorsque l'équation (a) a été mise sous la forme (a), l'équation (a) se réduit à i=o; résultat absurde, qui ne peut donner l'équation de la ligne enveloppe. Ceci provient de ce qu'en effet, comme on vient de le voir, les portions de courbes représentées par l'une des équations (a^) n'ont plus de points d'intersection. Mais il faut remarquer que, si l'on substitue pour a sa valeur f(x^) dans l'équation (a), celle-ci deviendra identique, ainsi que ses dérivées par rapport à x et à /, en sorte qu'on aura identiquement ^

tùc da dx ^ dy da* djr '

d'où

rff __^ rfF df__dF^dF dx dx ' da^ dy dy ' da

Or, la relation entre Xyj^ qui est l'équation de la ligne

enveloppe, fait évanouir -7-, quand l'équation {a) a été

délivrée de radicaux : donc elle doit rendre infinis

d( df . ^ . , „,

-7- , -j- / ce qui fournit un moyen de trouver 1 équation de l'enveloppe, même lorsque l'équation des enveloppées se trouve résolue par rapport à a. Ainsi , quand on prend pour f la valeur tirée deJ'équation (c),il vient

dî Zfzp*±2pjr—p{/^p*—!Àpjr — x*

^ x^y/'p'—ikpy'^a^ ^

di^ P

dj '~x|/^j^^2/?7— ^ '

334 LIVRE IV. — (Chapitre ii.

et l'on retrouve l'équation de l'enveloppe (y) ps^r la

condition que ces valeurs deviennent infinies.

Le raisonnement qui conduit à cette conséquence peut encore être présenté sous la forme suivante.

Lorsque l'on différentie successivement l'équation (a) en y considérant la quantité a, d'abord comme une constante, puis comme une fonction des variables Xyj-y on a [i83]

dF ,dF

d'où

dF dF dF (da da\

Si"*" ^ rf^ ■*■ 3^ V5ï"*"^^; — ""'

^ dF ^~ dx' dy' dF dF dF rda ,da\ dF .

^~ H*' dy da\dv'^^ drJ

et ces deux valeurs de / coïncideront, si l'on détermine a en fonction de x^y, de manière à vérifier Tune ou l'autre des deux équations

dF dF

Ta^'':Ty = '^ •

Quand la fonction F est une fonction algébrique, délivrée de radicaux et de dénominations, la seconde de ces équations ne peut pas avoir de solutions ; mais en général, les diverses transformations auxquelles on soumet l'équation (a), en faisant apparaître ou disparaître des dénominateurs ou des radicaux, ont pour effet d'introduire dans l'une de ces deux dernières équations les solutions qui disparaissent de l'autre. D'ailleurs, lorsque

. , dF la dérivée ^- devient infinie , il faut qu'en général la

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dérivée ^ devienne aussi infinie, sans quoi la dérivée^'

serait constamment nulle.

189. Rien ne s'oppose à ce que les enveloppées soient des lignes droites, ou à ce que Téquation (a) ait une forme linéaire par rapport aux variables x^ : dans ce cas, le système des enveloppées se confond manifestement avec le système des tangentes de la courbe enveloppe.

L'équation {a) étant linéaire en x^jr, aura la forme

mais on peut changer de constante arbitraire et poser

^a=:c, ce qui donne à l'équation précédente la forme

plus simple

yzzz.cx + ^c \

1 équation (è) devient dans ce cas

On peut prendre pour système d'enveloppées le système des droites normales à une courbe donnée : mais alors les relations de la courbe enveloppe avec la courbe primitive donnent naissance à une théorie fort impor^ tante, qui mérite une étude spéciale, et dont TexpositioQ est l'objet du chapitre suivant.

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