ORDRES ENTRE LES LIGNES PLANES
§ I*'. Théorie des développées et des rayons de courbure des \ courbes planes.
190. Désignons, comme dans l'avant-dernier chapitre, par Ç,7i les coordonnées courantes de la normale à la courbe
au point (^,/), les coordonnées Ç,yj étant toujours parallèles aux coordonnées Xyy et comptées de la même origine : l'équation de la normale est
\—x + {r\—y)fz=:iO. (l)
Si l'on y substituait les valeurs de^,y en fonction de x, tirées de l'équation ( /), elle prendrait la forme
en restant linéaire par rapport aux variables Ç , » ; et l'on pourrait y considérer x comme le paramètre variable dont la valeur détermine chacune des droites normales, dont nous voulons trouver Tenveloppe : l'équation de cette enveloppe
<p(S,ti)=o (<p)
résulterait de l'élimination de x entre l'équation (a) et sa dérivée par rapport à x, ;
^-o dx *^
DES DiVJBLOPP£ES ET DES RA.TONS BE COURBUKE. 337
Mais, pour opérer cette substitution, il faudrait particulariser la fonction /; et comme pour le moment il s'agit au contraire d'exprimer des résultats indépendants de la forme de cette fonction , nous opérerons immédiatement sur lequation (i), et nous la différenlierons par rapport au paramètre Xj en y considérant /,/' comme des fonctions implicites de Xj en vertu de 1 équation {f).
Ce calcul donne
d'où Ton tire
J — / „ ,Ç — X — iy
Dans ces^ formules, $,„ désignent les coordonnées du point d'intersection de la normale au point {x,y) avec une norpiale infiniment voisine [i83] , ou celles du point où l/normale au point {x,f) touche la courbe enveloppe (9). Si donc ou appelle p la distance du point {x,y) au point fÇ, ») ainsi défini, p sera une fonction de la variable indépendante x, donnée par la formule
ou
Le double signe ± affecte la valeur de p comme celles de toutes les longueurs qui ne sont pas mesurées parallèlement aux axes des coordonnées. Si l'on convient de prendre positivement le radical
~ dx
OU de faire croître l'arc s avec l'abscisse x^ p sera de même signe que y\ et en tous cas changera de signe avec y".
191. Puisque la normale à la courbe (/) au point (.r,jr) touche son enveloppe (ç) au point (Ç,tq), on a, en désignant par ^ l'angle que fait cette normale avec Taxe des X, du côté des abscisses positives ,
D'autre part l'équation
donne, quand on la différentie par rapport à la variable indépendante or,
OU plus simplement, à cause de l'équation (i),
Si Ton remplace Ç — x^in — jr par leurs valeurs p cos X, psin^, il viendra
ax ax ax ^ ^
Élevons au carré les deux membres des équations (4) et (5), et faisons la somme : nous aurons enfin
dx" dx"
Si Ton désigne par g la longueur de l'arc de la courbe (<p), compris entre un point fixe pris sur la courbe et le point mobile (Ç, y)), on a [174]
dx dx
et par suite
