DES D^VELOPPJ&ES ET DES RAYONS DE COURBURE

dx dx

Donc, si Ton considère deux systèmes de valeurs .correspondantes

et si Ton suppose que dans l'intervalle x^ — x^ les dé-

fl?p dis rivées -j- , t- conservent lé même signe, sans devenir

infinies , les valeurs numériques des différences p^ — 'Po»^ï — ^o sont égales entre elles : d'ailleurs ces différences sont de mêmes signes ou de signes contraires, selon que les grandeurs p, <y sont simultanément croissantes ou décroissantes, ou l'une croissante et l'autre décroissante.

192. Soit mirix m^m^ i^fig. 5o) la courbe donnée à laquelle la droite mobile sur le plan xy doit rester contamment normale, et p. p.x p.» p.3 le lieu des

points d'intersection de deux normales infiniment voisines, ou la courbe qui est constamment touchée par la droite mobile : il résulte de ce qui vient d'être démontré que la première courbe pourrait être décrite d'un mouvement continu par l'extrémité d'un fil tendu qui aurait été enroulé sur la seconde courbe et que l'on déroulerait ensuite; car de cette manière la différence des longueurs /ti p. , Wi p.i serait constamment égale à l'arc p. (X.Ï ; et la portion rectiligne du fil dont une extrémité décrirait la courbe /TiWiWa. . . ., toucherait constamment par l'autre extrémité la courbe [x.p.ip.2. . . .

C'est pour cela que Huygens , l'auteur de cette théorie, a nommé la courbe (ç) la dés^eloppée de la courbe (/*), et celle-ci la développante de la courbe (<p). Une courbe plane a toujours une développée

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comprise dans son plan , et n'en peut avoir qu'une ; mais elle a une infinité de développantes , puisque, dans le déroulement du fil enroulé sur la développée, chaque point de la portion rectiligne du fil, que Ion peut concevoir prolongée indéfiniment, décrit une courbe particulière.

La description des courbes planes par leurs développées a une grande analogie avec la description du cercle. Dans le cercle dont Téquation est

on trouve

de sorte que la développée se réduit à un point qui est le centre du cercle. Réciproquement, dans la description d'une courbe quelconque, à l'aide de sa développée, chaque point de la développée fait successivement l'office de centre; et le rayon , au lieu d'être constant, change d'un point à l'autre de la courbe décrite. Cette considération va nous conduire à envisager sous un autre point de vue les liaisons des courbes avec leurs développées.

193. Pour' nous former une notion précise de la courbure d'une ligne plane en chacun de ses points, imaginons qu'à partir du point m [fig. 5i) on ait mesuré un arc mmx-=>b.s^ puis mené les tangentes mt^ rrixt et les normales mriymxn aux points m^mx. Soit A t l'angle compris entre ces normales, ou l'angle extérieur formé par les deux tangentes correspondantes : suivant que la ligne sera plus ou moins courbe ou s'écartera plus ou moins de la tangente m t dans le voisinage du point /w,i

le rapport

At ., l