DIS DJÂVELOPPÉES ET DES RAYONS DE COURBUKE
prendra des valeurs plus ou moins grandes; en supposant toutefois que Tare n'éprouve pas de serpentements, mais tourne sa convexité dans le même sens dans toute sa longueur, ce qu'on peut obtenir, pour toute courbe continue, en prenant l'arc A^ sufBsamment petit. Si la ligne était une circonférence de cercle, dont la courbure est évidemment la même en tous les points, le rapport (g) serait indépendant, tant de la longueur de lare A s que de la position du point m sur la courbe, et
il aurait pour valeur -, r désignant le rayon du cercle.
En conséquence, on peut prendre le rappport - pour
la mesure de la courbure du cercle du rayon r.
Pour la courbe quelconque mmi , le rapport (g) varie, non-seulement avec la position du point m, mais encore avec la longueur de l'arc Aj*. Si cependant les quantités Aj,At deviennent l'une et l'autre de plus en plus petites, le rapport (g) convergera, sauf les cas de solution de continuité, vers une limite déterminée et unique
et par analogie [3o,38] on devra considérer cette limite comme mesurant la courbure de la ligne au point m^ courbure qui deviendra ainsi une grandeur mathématiquement définie, pour chaque courbe et pour chaque point de cette courbe.
Or, quand l'arc mm^ devient infiniment petit, le point n est le point (^,7)) déterminé plus haut, et à cause que les normales mn, min ne diffèrent plus que d'une quantité infiniment petite, on a/aux infiniment petits près du second ordre, é/j==:prfT, ou, d'après la
formule (p),
rfT I f
L'angle infiniment petit ^t se nomme Vangle de contingence.
D'ailleurs, sans qu'il soit besoin de recourir à la formule (p), ni aux calculs qui ont servi à l'établir, on a directement
rfr==:±:flf . arc tangy =±, / dx
rfjr = ±:V/i-f./\ dx ^ d'où
ds (14-/')!-
Le rapport - est donc la mesure de la courbure d'une
ligne au point (^,/); p est le rayon de courbure ; le point (Ç, 7)) est le centre de courbure ou le centre du cercle décrit du rayon p, qui aurait au point (x^y) la même courbure que la ligne donnée : la développée est le lieu géométrique de tous les centres de courbure de la développante.
194. La valeur de la courbure, toujours, réciproque à celle du rayon de courbure, varie en chaque point de la courbe , de part et d'autre du point {x^y). Généralement elle va en augmentant dans un sens et en diminuant dans l'autre. Donc le cercle décrit du point (Ç, tq) comme centre, avec le rayon p, doit être intérieur à la courbe du côté oii la courbure va en diminuant , et extérieur à la courbe du côté oîi la courbure va en augmentant. Donc ce cercle coupe la courbe au point (jt,^^ en même temps qu'il la touche, en ce sens que la tan-
DES DiVELOPP^ES ET DES RATONS DE COURBURE. 343
gente à la courbe est aussi taugente au cercle dont le centre (Ç, yi) se trouve sur la normale.
Au contraire , et par la même raison , tout cercle tangent à la courbe au même point j mais décrit d'un rayon plus grand ou plus petit que p, est extérieur à la courbe des deux côtés , ou intérieur des deux côtés. Il est évident d'ailleurs, par la construction qui nous a conduit à la définition géométrique de la courbure, que le cercle dont la courbure est la même que celle de la courbe au point (Xfjr), s'écarte moins de la courbe , dans le voisinage immédiat de ce point , que tout autre cercle tangent décrit d'un rayon plus grand ou plus petit. En conséquence, Huygens a donné au cercle tangent qui a pour centre le centre de courbure correspondant au point de contact, le nom de cercle oscutateur : il se trouve à la limite commune des cercles qui touchent la courbe intérieurement des deux côtés, et de ceux qui la touchent extérieurement des deux côtés.
Il y a pourtant des cas où le cercle osculateur cesse de couper la courbe : c'est lorsque le rayon de cour» bure passe au point (^,jr) par une valeur maximum ou minimum. Alors, toujours en vertu du même raisonnement, le cercle osculateur doit toucber la courbe extérieurement des deux côtés, si c'est le cas du maximum, et intérieurement des deux côtés, pour le cas du minimum. Dans une ellipse, par exemple, la symétrie de la figure suffît pour montrer que le rayon de courbure est un minimum aux extrémités du grand axe et un maxi-mum aux extrémités . du petit axe. En général, dans une courbe fermée, sans points de rebroussement ou d'inflexion, le rayon de courbure a au moins un maxi^
rnum et un minimum, et il a nécessairement autant de valeurs maxima que de valeurs minimu.
195. Tous les résultats énoncés dans ce dernier numéro ont été déduits de considérations purement géométriques : on les confirmerait au besoin par l'analyse. Pour la plus grande simplicité des calculs , désignons par u la fonction
(Ç-^)"H-(.,-7)% ou le carré de la distance du point (Ç,Yi)au point (x,/) pris sur la courbe : le premier point restant fixe, u sera une fonction de la seule variable indépendante x. Si donc nous voulons que la distance du point (^ , t\) au point {Xyy) soit un maximum ou un minimum entre toutes les droites que l'on peut mener du premier point aux points voisins du second sur la courbe , il faut poser
c'est-à-dire que le point ($,n) doit se trouver sur la normale à la courbe au point {pc^y).
U y a maximum ou minimum^ suivant que
3^=1 + 7 —(^—7)7 < ou >o .
La première inégalité ne saurait être satisfaite lorsque les facteurs yi — j^y" sont de signes contraires , ou (comme il est facile de s'en assurer) lorsque la courbe et le cercle tangent tournent leur convexité en sens contraires. Admettons que ces facteurs soient de même signe, ou que la courbe et le cercle tangent tournent leur convexité du même côté de la tangente : suivant que la première ou la seconde inégalité est satisfaite, le cercle tangent est, au voisinage du point [pc^jr)^ extérieur ou intérieur à la courbe des deux côtés. Mais il
DES DlSVELOPPiES ET DES RATOIfS DE COURBURE. 345
n'existe plus ni maximurh ni minimum si l'on a, outre l'équation (i),
c'est-à-dire (d'après l'identité des équations (i) et (3) avec celles que nous avons désignées plus haut par les mêmes réclames), si le point (Ç,yi) est le centre du cercle osculateur. Ce cercle coupe donc la courbe en même temps qu'il la touche. Il est extérieur ou intérieur à la courbe du côté où les x vont en croissant, suivant qu'on a
55 = 3//' — (ti— /)/" < ou > o .
Enfiu, le cercle osculateur redevient extérieur ou intérieur des deux côtés , si l'on a
g=3xr"-(i-r)/"=o,
ou, en substituant la valeur de ti — y^ tirée de l'équation (3>
Mais, en différentiant l'équation (p), on trouve
J=±:^:pi'(w-(.H-y)r"0;
et par conséquent l'équation (6) exprime la condition pour que le rayon de courbure passe par une valeur maximum ou minimum.
196. Lorsqu'on veut s'affranchir de la condition de regarder x comme la variable indépendante , l'expression du rayon de courbure prend la forme symétrique
P dxdy—dyd'x dxdy—dyd^x ^^'^
Or, l'équation ds^^zdx" -^-dj donne par la différentiation
346 LIVRK IV. CHAPITBE llf.
^,^^d:cd':v+djrdy^ (7)
d'où , (dxd'x+drdyy(d'j!'+d'y){d^+df) — jdxd'x — dyd'x]
^..^^^^l^Éfl, (8)
et par suite
as
o—± ^ fpO
L'équation (8) peut encore être mise sous la forme {dxâ^y — dyd'xy={d^ocH-dy*)ds^ — (da^+dx^)d^s^ , qui devient y en vertu de Téquation (7),
[dxd^y — dyd^xy={dsc^x — dxd^sf'\'{dsd^y — dyd^s)*
et d'où l'oo tire
ds
N/c-'-sy-c-ST
D'ailleurs on a [igS], ds=ifdr,dr désignant l'angle de deux tangentes infiniment voisines, ou l'angle de contingence : donc
Les formules (pa), (pj), (r) trouvent leur application dans la mécanique.
On a aussi, dans le système des coordonnées polaires [179], en prenant l'angle f pour variable indépendante:
