DES DEVELOPPEES ET DES RAYONS DE COURBURE

dx^=' drcostf — rsiiKfdf ,

rfjzzirfrsinç — rcosf ^<p ,

d'x= d^r CCS ç — 2 sîn <p rfrcftp — ^ rcos cpcftp» ,

d^y-zzz d^r sin f + a cosf c?rrf<p — r sin frfç* . Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression du rayon dç courbure, il vient

197. Exemples. i"Soit donnée l'équation de l'ellipse on trouve

E-^ eZ± ,-r3 *'-^' (A*^4-ay)l

et pour l'équation de la développée en Ç , yi ,

■ C-éi)^-(^)'=-;

Délivrée de radicaux, cette équation devient

[ ' {ce—bj (a»— i^J """^ (« — *7* Cette développée {Jig, Sa) a quatre points de rebrous-

sement qui correspondent aux extrémités des axes de

l'ellipse développante [194]*

Le même calcul donne ta développée de l'hyperbole ,

par le changement ordinaire de h en b\/ZIî. a*^Pour la parabole 'yz=LipXj on a

et l'équation de la développée devient 1)'== — • .i i-i- •

348 LJVlftE IV. CHAPITRE III.

Cette développée {fig, 53) est une courbe parabolique , c'est-à-dire , une courbe du genre dé celles dont l'équation peut être ramenée au type

m ^\.n étant des nombres entiers positifs. On l'appelle la parabole de Neil^ du nom du géomètre qui l'a étudiée le premier, ou l'un des premiers, en signalant la propriété, alors très-remarquable, dont jouit cette courbe, d'être rectifiable, en ce sens que l'arc s peut être exprimé par une fonction algébrique de l'abscisse x. C'est un point sur lequel nous reviendrons en traitant de^ la rectification des courbes, ou de la détermination de s en fonction de x.