CARACTÈRES ANALYTIQUES DES PRINCIPALES FAMILLES DE SURFACES

241 . On sait que toute liaison mathématique ou empirique entre les variables x, y, z, désignée d'une manière

générale par

donne lieu à la construction d'une surface, quand on considère x, y, z comme les trois coordonnées qui fixent la position d'un point dans l'espace. Mais en général la surface ainsi construite ne serait pas définie géométriquement ; et maintenant qu'il s'agit non plus de figurer dans l'étendue les conceptions de l'analyse, mais d'appliquer l'analyse à la théorie de l'étendue, nous n'avons réellement à considérer que les surfaces caractérisées par des propriétés géométriques.

Il peut se faire que la définition géométrique d'une surface se traduise immédiatement par une équation entre ses coordonnées courantes ; ainsi l'équation

exprime immédiatement ce caractère géométrique par lequel on peut définir la surface d'une sphère : savoir, que tous ses points sont à une distance constante d'un autre point pris ici pour origine des coordonnées. Mais, plus ordinairement, la définition géométrique d'une surface consiste à assigner la loi de la description de la surface par une ligne : soit que la ligne se meuve simplement dans l'espace sans changer de forme , soit qu'elle change de forme en môme

temps qu'elle se déplace. Dans ce cas, l'équation (1) est

censée donnée par l'élimination du paramètre a entre les

équations

qui sont celles d'une ligne tracée dans l'espace : cette ligne, à laquelle on donne le nom de génératrice, variant continuellement, ou de position et de forme, ou au moins de position, avec le paramètre «-

On dit encore que la surface (1) est le lieu géométrique de toutes les lignes que donne le système des équations (2), quand on y fait varier sans discontinuité le paramètre a.

Ainsi, le cône droit que l'on considère dans les éléments de géométrie est la surface décrite par une droite qui se meut en passant constamment par un point fixe, et en faisant avec une autre droite menée par le même point un angle constant. On pourrait encore regarder la surface du cône comme décrite par un cercle de rayon variable, dont le centre se meut sur Taxe du cône tandis que son plan reste perpendiculaire à cet axe, et dont le rayon est proportionnel à la distance du sommet du cône au centre du cercle mobile.

242. Ceci conduit à la distribution des surfaces en familles, d'après les analogies géométriques de leurs modes de description ; et cette distribution, aussi curieuse en ellemême qu'utile pour l'intelligence des opérations des arts, a de plus pour nous cet intérêt, qu'elle se lie étroitement à la théorie des fonctions, telle que nous l'avons conçue. Il ne faut point la confondre avec la classification des lignes ou des surfaces algébriques d'après le degré de leurs équations, quoique les connexions de la géométrie et de l'algèbre établissent souvent des analogies entre les lignes ou entre les surfaces associées par le degré de leurs équations algébriques [207].

Par exemple, le cône droit dont il était question tout à

Fheure appartient à la famille des surfaces coniques, qui ont pour caractère générique d'être décrites par une droite assujettie à passer constamment par un point fixe. De même le cylindre droit dont on s'occupe dans les éléments appartient à la famille des surfaces cylindriques, engendrées par une droite qui se meut en restant constamment parallèle à elle-même. Pour diriger, dans l'un et dans l'autre cas, le mouvement de la droite génératrice, rien n'empêche de substituer au cercle qui donne le cylindre et le cône ordinaires, une courbe quelconque, algébrique ou transcendante, ou tracée dans l'espace d'une manière absolument arbitraire. En général, on appelle lignes directrices celles sur lesquelles s'appuie la ligne génératrice pour décrire une surface déterminée.

La distribution des surfaces en familles diffère d'une classification proprement dite [18] en ce sens que la même surface peut se ranger dans diverses familles, selon les analogies diverses que son mode de description manifeste. Ainsi, on peut encore considérer le cône et le cylindre ordinaires comme appartenant à la famille des surfaces de révolution, qui ont pour caractère générique d'être décrites par une ligne plane, que l'on nomme ligne méridienne, tournant autour d'un axe fixe compris dans le plan de la méridienne, ou dans le plan méridien. La ligne méridienne se réduit à une droite, parallèle ou oblique à Taxe de rotation, dans le cas du cylindre ou du cône droits, mais elle peut être une courbe tracée arbitrairement dans le plan méridien.

Ainsi, on conçoit que des surfaces dont les équations ne sont pas algébriques et ne peuvent même s'écrire avec des signes mathématiques, sont pourtant susceptibles de jouir de propriétés communes et d'être géométriquement étudiées, sous le rapport des caractères génériques qui ont servi à les grouper.

Classe des surfaces réglées.

243. On appelle surfaces réglées toutes celles que peut décrire une droite en se mouvant dans l'espace d'une manière quelconque. On renversera cette définition en disant que, par un point quelconque pris sur une surface réglée, on peut mener une droite qui s'applique en tous ses points sur la surface. Le plan tangent à une surface réglée, comprenant toutes les tangentes aux lignes menées sur la surface par le point de contact, comprend la génératrice menée par ce point, puisqu'une ligne se confond avec sa tangente, quand elle devient droite.

Les équations de la droite génératrice, étant mises sous la forme

ne doivent contenir qu'un paramètre arbitraire, sans quoi il n'existerait pas de surface, lieu de toutes les génératrices: ainsi Ton a

de sorte que le système des deux équations

yi= aX + ^«, Z = XfOL + 7ra, (3)

où y, ty, 7T entrent comme caractéristiques de fonctions arbitraires, est propre à représenter une surface réglée quelconque.

En général, les deux génératrices infiniment voisines, pour lesquelles le paramètre variable prend les valeurs « et a-f-da, ne se rencontrent pas : ce qui revient à dire [232 qu'il n'existe pas dans l'espace de ligne qui soit l'enveloppe de toutes les droites génératrices ; car les équations de l'enveloppe, si elle existait, résulteraient de l'élimination de a entre les équations (3) et leurs dérivées prises par rapport à a,

X + ^'a= 0, Xf'a + it'a = 0.

Mais, pour que ces deux dernières équations puissent exister ensemble, il faut qu'on ait

équations de condition qui ne laisse arbitraires et indépendantes que deux des fonctions <p, <|s *.

Quand elle n'est pas satisfaite, et que les droites génératrices n'ont pas d'enveloppe, la surface réglée est qualifiée de surface gauche : au cas contraire, elle est qualifiée (par une raison que nous expliquerons bientôt) de surface développable.

Î44. Si les fonctions <p, <J>, « étaient données, l'équation de la surface réglée correspondante résulterait de l'élimination de a entre les deux équations (3). On peut donc considérer dans ces deux équations les variables a et z comme fonctions des deux variables indépendantes x,y. En prenant les dérivées de la première équation par rapport à chacune des variables indépendantes, on a

et en opérant de même sur la seconde

£ [Wf'a + *'a) = p — ^j (x?'a + *'«) = q . (6)

On en conclut

dx dy q

de sorte qu'on peut aussi représenter une surface réglée quelconque par le système des deux équations

y Z=L «X + ^3Cf p + Oq = f9,

où entrent les dérivées du premier ordre p et q, mais où n'entrent plus que deux signes de fonctions arbitraires <p et <J>.

404 LIVRE IV. — CHAPITRE Vn.

La seconde de ces équations donne, par deux différentiations relatives à a; et à y,

^(?'a — q)=r + <*,-£ (f'*--q) = s + at,

d'où, en vertu de l'équation (7),

r + ca — a = -^— ,ou«tf + 8oa + r=0. (8)

8 + at *

Donc une surface réglée quelconque peut encore être représentée par le système

où entrent les dérivées partielles du second ordre r, s, t,mais où n'entre plus que le signe de fonction arbitraire <p. Enfin, si nous différentions l'équation (8) par rapport à x et à y, il viendra

2— (* + at) = — (<*W + 2aXU + u), dx

da 8 -r- (i + <rf) = — (A + îoto + ta),

et par conséquent

a*t0 4. joui -4- u A

— a = -r ,ou«,r+ 3«f«; + 3ata+ w = 0. (9)

ast?4.2<zf0.f ta

Si maintenant on élimine * entre les équations (8) et (9), on aura une équation aux différences partielles du troisième ordre, délivrée de tout signe de fonction arbitraire, ayant la même généralité que le système des équations (3), et convenant comme celles-ci aux surfaces réglées quelconques.

On arrive très directement au même résultat en considérant que, sur une surface réglée quelconque, trois plans tangents infiniment voisins se coupent suivant une même droite, qui est l'une des génératrices, lorsque les trois points

de contact infiniment voisins sont pris sur cette génératrice même.

En effet, l'équation du plan tangent

?-*=/>(*—*) + ?(* — y) a pour dérivées des deux premiers ordres

d*p(ç-x) + d*qb-y)-(dxdp+dydq)=zO;\ K }

et elles devront chacune, par leur combinaison avec l'équation du plan tangent, déterminer la même ligne droite ; ce

qui entraîne

dx dy dz

t — x î — y ç — *' et ce qui réduit les équations (10) à

dpdx + dqdy = 0, d%pdx + d*qdy = 0, ou bien à

u h- îtoy' + wy" + {tu +9wy' + vy'*) y' = 0. Il faudra en outre que Ton tire de ces deux équations la même valeur de la tangente y' de l'angle que la projection de la génératrice sur le plan xy fait avec Taxe des x ; et en effet les deux équations précédentes ne diffèrent respectivement des équations (8) et (9) que par le changement de * en y.

Ordre des surfaces développables. .

245. Quand les droites génératrices ont une enveloppe, et que l'équation (4) est satisfaite, les équations (6) deviennent, par la substitution de la valeur de n'a,

d'où Ton tire, en vertu des équations (5),

p = ya — aj'a, q = f a •

Si la fonction 9 était donnée, on éliminerait a. entre ces dernières équations, et l'on en tirerait

p—nq. (n)

Tant que la fonction <p reste arbitraire, la fonction II qui s'en déduit conserve la même indétermination ; et réciproquement l'indétermination de II maintient l'indétermination de <p : les surfaces développables sont donc caractérisées indifféremment , ou par le système des équations (3) et (4) qui renferment les coordonnées %% y, z et trois fonctions arbitraires, dont deux indépendantes ; ou par l'équation (n) qui ne renferme que les dérivées p et q sous un signe unique de fonction arbitraire.

On fait disparaître le signe II en passant aux dérivées du second ordre, et il vient, comme on l'a déjà trouvé [168].

rt — *f=0.

Le plan tangent à une surface développable touche la surface sur tout le prolongement de la droite génératrice comprise dans ce plan tangent. En effet, la condition pour le plan tangent de passer par une génératrice donnée établit, pour tous les points de contact situés sur cette génératrice, la même équation de condition entre les dérivées/), q; et si l'on y joint l'équation (II), les quantités p, q se trouvent individuellement déterminées , et ont mêmes valeurs pour tous ces points de contact.

De cette proposition établie pour les surfaces développables il faut conclure inversement que, pour les surfaces gauches, le plan tangent qui comprend toujours la génératrice menée par le point de contact, ne touche pas la surface, et par conséquent la coupe en tout autre point de la droite génératrice.

246. Les surfaces développables sont ainsi appelées parce qu'elles peuvent s'étaler ou se développer sur un plan sans

déchirure ni duplicature, ou sans qu'une ligne quelconque, tracée sur la surface, ait été raccourcie ou allongée dans aucun de ses éléments. Considérons en effet une suite de génératrices infiniment voisines, rop, mx\ix , m,^, ,... {fig. 72), qui se coupent deux à deux, de manière à avoir pour ligne enveloppe le polygone gauche infinitésimal f^p, L'élément plan wifxm, pourra tourner autour de la droite m^p, , pour venir se rabattre sur le plan de l'élément contigu tn1fiimt ; ces deux éléments, ainsi ramenés dans un même plan , se rabattront à leur tour sur le plan de l'élément mtfitmz, et ainsi de suite. Nous reviendrons dans le chapitre suivant, par d'autres considérations, sur cette propriété des surfaces développahles et sur les conséquences qu'on en peut tirer.

La ligne f^p,,... ou l'enveloppe des génératrices rop, m^,, mtii%, etc., se nomme Y arête de rebroussement de la surface développable qui est le lieu de toutes ces génératrices. Chaque ligne à double courbure peut donc être considérée comme l'arête de rebroussement d'une surface développable, décrite par une droite qui se meut en restant tangente à cette ligne. En conséquence , pour compléter la théorie des lignes à double courbure, il convient de la rattacher à celle des surfaces développables, ainsi que nous le ferons plus loin.

L'arête de rebroussement peut se réduire à un point, comme cela arrive pour les surfaces coniques qui sont évidemment développables. Quand le point d'intersection de toutes les génératrices s'éloigne à l'infini , la surface , sans cesser d'être développable, devient une surface cylindrique. Nous allons traiter plus particulièrement de ces deux familles de surfaces développables.

Famille des surfaces cylindriques.