Mettons les équations de la droite génératrice sous

la forme

x=az + a, y = ft*+p; (U)

on aura entre les paramètres variables a, fir une liaison

doïi

y — fc=?(a; — az) («)

Tant que les coefficients a, b et la fonctions y conservent leur indétermination, l'équation (12) convient à une surface cylindrique quelconque. Si Ton assigne aux coefficients a, b des valeurs numériques, on assujettit les génératrices à faire, avec les parallèles aux axes des coordonnées, des angles déterminés.

Après avoir pris les dérivées de l'équation (12) par rapport à chacune des variables indépendantes £, y, on éliminera à lqi manière ordinaire la fonction ?', et il viendra

ap + bq=h, (13)

équation aux différences partielles , qui a précisément la même étendue que l'équation (12) dont elle dérive. D'après la signification géométrique des dérivées p , q, l'équation (13) exprime que le plan tangent est toujours parallèle à la droite x=az> y=bz; et l'on aurait pu s'appuyer sur cette propriété du plan tangent aux surfaces cylindriques, pour écrire directement l'équation (13).

248. On donne le nom de section droite à la courbe d'intersection d'une surface cylindrique et d'un plan perpendiculaire à ses génératrices. Pour déterminer cette section droite, ou, plus généralement, pour déterminer la fonction arbitraire ? qui entre dans l'équation (12), on peut assu-

jettir la surface à passer par une courbe directrice donnée [242]. Soient

flx,y,z)=z0, (fl i

f(*,f,s) = 0, (!) i ir'l)

les équations de la directrice : on éliminera a?, y, z entre les équations (il), (£f), et il viendra pour résultat une équation de la forme

qui doit être identique avec (<p), et qui détermine par conséquent la fonction ç. D'ailleurs, si Ton remet dans l'équation (F), pour a et |3 leurs valeurs en x, y, z, il viendra

F (a? — a*,y-te) = 0, (14)

et ce sera l'équation de la surface cylindrique demandée.

Dans le cas où la courbe directrice serait tracée dans le plan xy et aurait pour équation,

l'équation (F) se changerait en /*(«, /3) = 0, et l'on aurait pour l'équation (14)

f(x — az,y — bz) ss 0. (45)

Cette dernière équation exprime que la section de la surface par un plan parallèle à celui des xy, dont l'ordonnée est z, se projette en xy suivant une ligne identique avec la directrice, et qu'on obtiendrait en faisant glisser la directrice sur le plan xy, parallèlement à la droite dont l'angle

avec Taxe des x a pour tangente j, de manière que tous les

points de la directrice décrivissent des portions de droites parallèles, égales en longueur à «l/ô5+2?. Par conséquent, l'équation (15) a un sens géométrique déterminé; et elle ramène à des constructions faciles tous les problèmes que l'on peut se proposer concernant les surfaces cylindriques, sans qu'il soit besoin de faire perdre à la fonction fde sa

généralité, en lui attribuant une expression mathématique ; au lieu que l'équation (14) n'a par elle-même aucun sens, quand l'élimination entre les équations (il), (/*), (f) n'est pas praticable, ou lorsque les fonctions f et f cessent d'avoir une expression mathématique. Toutefois, du moment que la courbe directrice est donnée par le tracé de ses projections sur deux plans rectangulaires, la géométrie descriptive enseigne à construire par points la courbe d'intersection de la surface cylindrique et d'un plan donné, tel que celui de xy : de sorte que le système d'opérations graphiques usitées dans cette branche de la géométrie se rattache à la théorie des fonctions continues quelconques, comme tenant lieu d'éliminations analytiquement impossibles.

Si la surface cylindrique doit être tangente à une surface définie par une équation telle que (/*), comme dans le problème des ombres lorsque le point lumineux s'éloigne à l'infini, on tirera de (/*) les valeurs àep, q en a?, y, z, et on les substituera dans l'équation (13), ce qui donnera une seconde équation (f ) appartenant à la ligne de contact du cylindre et de la surface (f). Rien n'empêchera de prendre cette ligne de contact (/*, f ) pour directrice, et d'achever la solution du problème comme précédemment.

Famille des surfaces coniques.

249. Les équations de la droite mobile qui décrit une surface conique en passant constamment par le point (x0, y0, *,), peuvent être mises sous la forme

X — Xo = « (y — I/o), % — %o — j3 (X — Xo). (*6)

On doit supposer les paramètres a, (3 liés par une équation telle que (?), et alors il vient

x — xo \y — yol

Tant que les constantes x0, y0, z0 et le signe <j> conservent leur indétermination, cette équation est propre à représenter une surface conique quelconque. On élimine la caractéristique <p par le procédé ordinaire, et l'on tombe sur l'équation aux différences partielles

% — z0 = p (x — x0) + g (y — Jo). ( 1 8)

On y parvient encore directement en considérant que le plan tangent à la surface conique doit toujours passer par le point {x., y„ z0)j centre de la surface.

Lorsqu'on prend ce centre pour origine des coordonnées, l'équation (1 7) se réduit à

et, d'après sa forme, elle est homogène par rapport aux variables x, yy z. Dans la même circonstance, l'équation (18)

devient

Z=px + qy,

ce qui s'accorde avec le théorème des fonctions homogènes [122].

Si la surface conique a pour courbe directrice la ligne (fy f), on éliminera x, y, z entre les équations (16), (/*),(f), ce qui conduira à une équation finale (F), laquelle détermine implicitement la fonction <p. Remettant pour a, (3 leurs valeurs en x9 y, z, on aura pour l'équation de la surface conique

\y — 3fo x—Xol Dans le cas où la fonction f ne serait pas donnée directement, mais devrait être déterminée par la condition que la surface conique touchât la surface (/*), cas qui se présente dans le problème des ombres lorsque le point lumineux est à une distance finie du corps opaque placé sur le trajet des

rayons, on tirerait de l'équation (f) les valeurs dep, q en x, y, z ; on les substituerait dans l'équation (18), et Ton obtiendrait ainsi l'équation (f ).

Ordre des surfaces gauches ayant une directrice rectiligne.

250. Si Ton prend pour directrice Taxe des z, les équations de la génératrice, mises sous la forme

Z » XfOL + a, Z » yfx + a, (20)

satisferont à la définition des surfaces comprises dans cet ordre. On en conclut

d'après quoi l'on peut remplacer le système des équations (20) par l'une quelconque des deux suivantes

les fonctions f t, <l>t étant liées par l'équation de condition

Différentions l'équation (21) par rapport à x et à y : il viendra

d'où

px + gy

et en différentiant de nouveau, pour éliminer yt,

x*r + ixys + y't = 0. (84)

Pour tirer l'équation (24) de considérations géométriques directes, nous remarquerons que, si Ton mène par le point (j:, y, z) deux plans, l'un passant par Taxe des z, l'autre tangent à la surface en ce point, ces deux plans qui auront respectivement pour équations

fflf — *)-*(i— y) = 0, (%)

se couperont suivant une génératrice. Si le point de contact change, sans cependant sortir du plan (25), le nouveau plan tangent coupera encore le plan (25) suivant la même génératrice. Donc les équations (25), (26) subsistent en même temps que leurs dérivées, prises par rapport aux variables

a, y, z, savoir :

Çdy — ndx = 0,

(rdx + sdy) (Ç — x) + (sdx + tdy) (i — y) = 0. (26') En vertu de l'équation (25), ces deux équations deviennent

Jt — ïj.(rdx + 8dy)x+{sdx + tdy)y = 0;

QX X

et si Ton élimine entre celles-ci le rapport vjL on retombe sur l'équation (24).

Ordre des surfaces gauches ayant leurs génératrices parallèles à un plan

directeur.

251 . Le plan xy étant pris pour plan directeur, on a pour les équations de la génératrice

d'où

y = xyz + iz; (27)

et les fonctions y, 4* restent arbitraires. Une première différentiation donne, par l'élimination de la fonction <j*,

414 LIVRE IV. — CHAPITRE Vil.

£ = — <pz ; et Ton trouve, par suite d'une seconde diffé-

rentiation,

jV- 2/>î* + pV = 0, (28)

On peut arriver plus directement à l'équation qui caractérise les surfaces de cet ordre, sans particulariser la position du plan directeur par rapport aux plans coordonnés. Soient

l'équation du plan directeur, et

ÀK-*)+B(,-y)+C(:-*} = 0 (29)

celle du plan parallèle mené par le point (#, y, z) : la génératrice passant par ce point sera l'intersection du plan (29) et du plan tangent (26). De plus, si l'on fait varier le point de contact sur la même génératrice, le nouveau plan tangent passera encore par cette génératrice, qui sera en conséquence la ligne d'intersection de deux plans tangents infiniment voisins. Donc on aura, outre l'équation (26'), la dérivée de (29)

kdx + Bdy + C [pdx + qdy) = 0 . (»')

Si l'on chasse des quatre équations (26), (26'), (29), (29')

les rapports

5— x n—y dy

ç z> ç z» fa' il reste l'équation de condition

(B + Gq)* r- 2 (B + Cq) (A + Cp) s + (A + Cp)*t= 0,

que l'on identifie avec l'équation (28) en posant A = 0, B = 0, mais qui acquiert une forme encore plus simple dans l'hypothèse C = 0, ou lorsqu'on prend le plan directeur perpendiculaire à celui des xy : car elle devient

BV — 2AB* + A^ = 0; (30)

et enfin elle se réduit à r— 0, ou à f =0, quand on prend

le plan directeur parallèle à celui des xz ou à celui des yz, ce qui ne restreint pas l'étendue de la solution.

Famille des surfaces conoïdes.

252. Quand la génératrice d'une surface gauche est assujettie à la double condition d'avoir un$ directrice rectiligne et de rester parallèle à un plan directeur, la surface décrite est un conoïde. En d'autres termes , la famille des surfaces conoïdes appartient à la fois aux deux ordres de surfaces gauches dont nous venons de traiter. Les surfaces conoïdes (à l'exception du plan qui s'y trouve compris) sont nécessairement gauches ; car, soient AB [fig. 74) la droite directrice, mrij mtnt, mtn.,. . . . des génératrices infiniment voisines : pour que deux génératrices consécutives se trouvent dans le même plan, il faudrait que les droites infiniment petites nn0 nxn%,.... fussent parallèles à AB ; ce qui ne peut arriver qu'accidentellement , à moins que la ligne polygonale

nnji ne se change en une droite parallèle à AB, et alors

la surface décrite est un plan.

La surface, quoique gauche, est qualifiée assez improprement de conoïde droit, lorsque la droite directrice se trouve perpendiculaire au plan directeur. On peut citer comme exemple la surface décrite par une droite qui se meut en coupant toujours perpendiculairement l'axe d'un cylindre droit, et en s'appuyant par un de ses points sur une hélice tracée à la surface du cylindre [234]. On donne à ce conoïde le nom de surface hélicoïde gauche.

253. Prenons pour plan directeur celui des xy, et pour origine le point où la droite directrice pénètre ce plan : les équations de la directrice seront

x = az, y = bz, (31)

et celles de la génératrice

On doit toujours concevoir l'existence de la liaison (©) entre les paramètres «, /3 ; ce qui donne pour l'équation générale des surfaces conoïdes

On en tire, en éliminant à la manière ordinaire la caractéristique y,

p(x— ûz)-h?(y — fc)«0. (33)

Le sens de cette dernière équation est que , si Ton mène dans le plan tangent au point (x, y, z) une droite parallèle au plan xy, elle coupera la directrice (31); et en effet la droite menée ainsi dans le plan tangent se confond avec une génératrice.

Supposons que la droite mobile ait pour directrice, outre la droite (31), une autre droite

0= mz + n, y = m'z + nf :

la fonction <p se trouvera particularisée à l'aide d'une élimination semblable à celles que nous avons déjà opérées, et il viendra

(mb — cm9) z* + (ro' — b) x% — (m — a) yz + (bn — an9) z +n'x — ng = 0,

équation de la surface du second degré à laquelle on donne le nom deparaboloïde hyperbolique.

Quandle conoïde est droit, on a a=0, fc=0 : les équations (32) et (33) deviennent respectivement

La surface connue en stéréotomie sous la dénomination de voûte d'arête en tour ronde, est un conoïde droit pour lequel la seconde directrice, qui prend le nom de cintre, est ordinairement une ellipse dont le plan est vertical et l'un

des axes aussi vertical. Mettons les équations de cette ellipse sous la forme

on trouvera pour l'équation du conoïde a1 y» z»

Famille des surfaces de révolution,

254. Parmi les surfaces auxquelles on n'assigne pas pour caractère distinctif d'être décrites par le mouvement d'une droite, nous ne considérons ici que la famille des surfaces de révolution [242]. Soient

* — x0 = a (z — *0), y — tfo — * (* — *o)

les équations de Taxe de révolution , mené par le point (xOJ t/#, z0) : un plan perpendiculaire à cet axe a pour équation

<& + ày + % — «,

et ce plan coupe la surface de révolution suivant un cercle qu'il est permis de considérer comme l'intersection du plan et d'une sphère qui aurait son centre au point (x0, y0, zj. L'équation de cette sphère est

(x - xo)* + (y~ j/o)1 + (* — *<>)' - p.

et la liaison (<p), qui dépend dans sa forme du tracé de la courbe méridienne, donne

{X— x0)»+ (y-r yo)* + (z - zo)1 = f (ax + by + z) : (34)

équation propre à représenter une surface quelconque de révolution, tant que les constantes x0, t/0, z0, a, b, et la caractéristique <p conservent leur indétermination.

En prenant les dérivées partielles par rapport à x et à y,

on a

2 \x— x,+p (z — zo)] = (a + p).?' (or + by + z),

2 [y — y. + ? (*— *•)] = (*+?)•?' (as+fy + *X; d'où l'on conclut par l'élimination de <p', p\y— y*— *(*— *.)]-q[x— x.— a(z— z,}] = 6(ar -^-«(y-y,). (35) Cette dernière équation exprime que la normale à la surface rencontre Taxe de révolution. Désignons en effet par £, tq, f les coordonnées courantes de la normale au point (x, y, z) : les équations de cette normale seront

ç — x + p (î — z ) « 0 , * — y + j ({ — 2) = 0 ; celles de Taxe de révolution, rapportées aux mêmes coordonnées courantes deviendront

ï-a?# = a({-s0),*-iy=*(C-3#); et si Ton chasse £, u, ? de ces quatre équations, on tombera sur l'équation (35).

Lorsqu'on prend Taxe de révolution pour celui des z, ce qui revient à faire xo=0, yo=0> fl=0, fc=0, l'équation (35) se réduit à

py— gx-0, (36)

et l'équation (34) devient

& + y% + (z-z.)* = fZ> ou, ce qui est la même chose, à cause de l'indétermination de la fonction <p,

x* + y1 = ?z, ou bien z = ^ (a? + y*);

* est ajors l'ordonnée de la courbe méridienne, dont l/xM-y1 désigne l'abscisse.

On assujettira la surface de révolution à passer par une courbe (/*, f ), au moyen du procédé d'élimination déjà indiqué pour les surfaces cylindriques et coniques.