Soit

dF=Xdx* Ydy+Zdz = 0 (4)

l'équation différentielle commune à une série de surfaces

qui ne diffèrent que par la valeur du paramètre a : les équations de la normale pourront s'écrire sous la forme

Y(6-»)-Xln-y) = 0,Z(6-*)-Xft-*)=0; et ce seront les équations des droites qui touchent au point

(x, y, z) des lignes tracées dans l'espace, ayant la propriété de satisfaire aux équations différentielles.

dx dx

Donc ces lignes ont aussi la propriété de rencontrer sous F incidence normale toutes les surfaces représentées par l'équation (5) ou par l'équation (4), conformément à ce qui a été annoncé [129 et 151].

239. Appliquons les formules précédentes à l'équation aP + tf z* a c*

qui appartient (comme il est facile de le voir d'après sa forme) à la surface engendrée par la révolution d'une hyperbole autour de son axe non transverse : surface que l'on désigne sous le nom (l'hyperboloïde de révolution à une nappe, pour la distinguer de Ykyperboloïde de révolution à deux nappes, décrit par la rotation d'une hyperbole autour de son axe transverse.

On trouve pour l'équation du plan tangent

Lorsqu'on y considère £, yî, f comme des constantes, et x, y , z comme les coordonnées courantes, cette équation appartient à un plan qui coupe l'hyperboloïde suivant une courbe, lieu des points de contact de l'hyperboloïde avec tous les plans tangents assujettis à passer par le point (|, n, £).

Si le plan tangent (7) coupe l'hyperboloïde en même temps qu'il le touche, les équations de la ligne d'intersection sont données en £, n, f par la combinaison de l'équation (7) avec la suivante,

Or, la combinaison des équations (6), (7), (8) donne

ouhien

et cette dernière équation se décompose en

Xn — yÇ g — Ç Xn — y? z — Ç

L'une ou l'autre de ces équations, associée à l'équation (7), représente une droite. Donc le plan tangent coupe la surface suivant deux droites menées par le point de contact : chacune de ces droites se déplace avec le point (x, y, z), et conséquemment Fhyperboloïde peut être décrit par chacune de ces droites mobiles.

Rien n'empêche de faire, dans les équations (6) et (7), 2 = 0, ce qui revient à prendre pour le point de contact un des points du cercle x* -j- î/s = <**> suivant lequel lliyperboloïde est coupé par le plan xy. L'équation (7) se réduit alors à x\ + yn = a*, et elle exprime évidemment que les droites mobiles dont il était question tout à l'heure ont pour projection sur le plan xy des droites tangentes au cercle engendré par la rotation de l'un ou de l'autre des sommets de l'hyperbole. On donne à ce cercle le nom de cercle de gorge ou de ligne de striction.

240. Mettons Véquation d'une surface sous la forme z—f(x,y) : on aura [157]

f(x + àx, y + Ay) =zf(x,y) + p\x + qby AFftx + toXty + toy) ^ % d*f(x+*±x,y+tey) 1 L dx* ~* "* dxdy 7

0 désignant un nombre compris entre zéro et l'unité. Soit Ç— *= m (t — z) + n (* — y) (2')

l'équation d'un plan quelconque, assujetti à passer par le point (x$ y, z) : son ordonnée *> correspondant aux abscisses 4 = x + A#> *i = y + Ay , a pour valeur

Ç = S -(- mAfl? + nAy = /"(x, y) + m*x + nAy,

d'où

/" {x + As, y -h Ay) — Ç= (/) — m) Ax + (y — n> Ay

</y(s + 0Ax, y + eA?/) ^t ^ d*f(x+c*x,y + e*y)

dif y ï

Ax, Ay étant des quantités très petites du premier ordre et d'ailleurs quelconques, la différence des ordonnées de la surface et du plan

f(X + AX, +Ay)-> (A)

est une quantité très petite du premier ordre, tant que les termes

(p — m) Aff + (q — -n) Ay,

vis-à-vis desquels on peut négliger la seconde partie de la valeur de (A) , ne s'évanouissent pas ; mais si Ton a m = p, n = ç, ou si le plan (2') se confond avec le plan tangent (2), la différence (A) se réduit à une quantité très petite du second ordre. D'ailleurs on reconnaît aisément que la perpendiculaire abaissée du point (x + &x, y + Ay , z + Az) sur le plan (2') est en général une quantité de l'ordre de (A). Donc on peut considérer le plan tangent comme un plan qui se rapproche de la surface, dans le voisinage du point de contact, plus que ne le ferait tout autre plan passant parle môme point [203].