Appliquons ceci à la détermination de la surface

engendrée par la rotation autour de Taxe des z de la droite

x = mz + n, y = m'z + n'. (37)

On aura à combiner ces équations avec

d'où

et en remettant pour a, /3 leurs valeurs,

(mz -H n)f + (m'z + n')* =x% + y*.

Si Ton suppose que Ton ait pris pour axe des a? la plus courte distance de Taxe de révolution à la droite (37), celleci se trouvera parallèle au plan y z, et il faudra poser m=0, n' = 0; au moyen de quoi l'équation de la surface devenant

tf + y* — m'** = n9,

se confondra avec l'équation (6) du n° 239. La surface engendrée est donc la surface réglée, connue sous le nom d'hyperboloïde de révolution à une nappe.

236. Proposons-nous encore de déterminer la surface de révolution autour de l'axe des z, dont la section par le plan y=ic serait l'ellipse

le calcul donnera, pour l'équation de la surface cherchée

L'intersection de cette surface et du plan xz est l'ellipse

représentée (fig. 75) par ABAT*', tandis que l'ellipse (38) se projette en xz suivant l'ellipse concentrique et semblable aba'V. Or, si l'on mène les droites bc, b'c% tangentes à

l'ellipse (38) en b et en b', il est visible que la portion ce' de la section méridienne est la seule qui se trouve géométriquement déterminée par la condition que la surface de révolution pénètre le plan y = c suivant l'ellipse (38). De c en B et de C en B' le tracé de la section méridienne pourrait être quelconque ; et conséquemment la fonction <p, lorsqu'on donne à la signification de la caractéristique <p toute la généralité qu'elle comporte, n'est que partiellement déterminée par la condition que l'on puisse placer sur la surface une courbe donnée. Mais quand on admet explicitement ou implicitement que 9 désigne une fonction algébrique qui ne change pas d'expression dans toute l'étendue de son cours, elle se trouve efiectivement déterminée dans toute son étendue par la condition que l'on puisse placer sur la surface une courbe algébrique donnée*