CHAPITRE Vin

257. La théorie des courbes enveloppes [182 etsuiv.] se généralise et s'étend aux surfaces, mais avec. des modifications essentielles qui tiennent au fond du sujet.

Soit

F te V > h «) = 0 (F)

l'équation d'une suface courbe, dans laquelle entre le paramètre a. En assignant une suite de valeurs à ce paramètre, on a une suite de surfaces de même espèce, qui en général se pénètrent suivant certaines lignes. Considérons en particulier deux de ces surfaces

F (x, y, Z, a) = 0, F (x9 y, z, a + Act) = 0 : par le décaissement continuel et indéfini de la variation Aa, la ligne d'intersection se déplace sur la première surface ; elle se rapproche de plus en plus d'une autre ligne donnée par le système de l'équation (F) et de sa dérivée

Monge a donné à la ligne ainsi déterminée le nom de caractéristique.

Les équations de la caractéristique contiennent le paramètre a, et varient pour chacune des surfaces, en nombre infini, que l'équation (F) représente, tant que a reste indéterminé. Si l'on élimine a entre les équations (F), (F'), on aura une troisième équation

et celle-ci appartiendra à une surface qui peut être considérée comme le lieu de toutes les caractéristiques.

422 LIVRE IV. — CHAPITRE Vffl.

Pour tous les points situés sur une même caractéristique, la surface ($) a le même plan tangent que celle des surfaces (F) à laquelle cette caractéristique correspond. En effet, Téquation du plan qui touche cette dernière surface au point (x, y, z), est

dF dF dF

d'ailleurs, comme l'équation ($) n'est autre chose que l'équation (F) où l'on a mis pour a sa valeur en x, y, z, tirée de l'équation (F'), l'équation du plan tangent à la surface ($) peut être mise sous la forme

/dF , dF d>\ / \ , (dF i dF dy\ ( \

(dF dF d\ ( \

et elle se réduit à l'équation (a) en vertu de (F').

La surface ($) jouit donc de la propriété de toucher ou d'envelopper les surfaces en nombre infini, dont la série est donnée par la variation continue du paramètre a dans l'équation (F). On donne en conséquence à celles-ci le nom d'enveloppées et à la surface qui les touche le nom d'eureloppe. Chaque caractéristique est la ligne de contact de l'enveloppe avec une enveloppée.

Il peut arriver que les caractéristiques deviennent imaginaires, quand le paramètre a a dépassé certaines limites, quoique, pour les mêmes valeurs de «, l'équation (F) continue de représenter des surfaces réelles, qui alors ne sont pins touchées par l'enveloppe, et auxquelles la dénomination d'enveloppées ne s'applique plus que par extension. Ce cas est analogue à celui que nous avons signalé en traitant de l'enveloppement des courbes planes [184],

Le système des équations (F), (F'), et

quand elles ne sont pas inconciliables, détermine le point où une caractéristique est rencontrée par la caractéristique infiniment voisine ; et l'élimination de a entre ces trois équations donne les deux équations de l'arête de rebroussement de la surface enveloppe décrite par le mouvement de la caractéristique [246].

Enfin, si l'on joint à (F), (F'), (F") l'équation

rf»F

on peut chasser a et déterminer individuellement les coordonnées x, y, % d'un point situé sur l'arête de rehaussement, et qui est en général un point singulier de cette arête.

258, Considérons maintenant l'équation d'une surface

F(ff,tf,S,«,jS):=:0, [F]

dans laquelle entreraient deux paramètres arbitraires a, (3 : il n'y a pas lieu de supposer que ces deux paramètres varient à la fois et indépendamment l'un de l'autre, car cela ne conduirait à aucune conséquence géométrique ; mais on peut naturellement admettre qu'il y a entre a, |3 une relation ]3 = (fa , au moyen de quoi l'équation précédente devient

On peut présentement faire varier le paramètre <x, ce qui engendre une série d'enveloppées et une surface enveloppe correspondante. Comme la fonction <p est arbitraire, chaque forme qu'on lui assignera déterminera un système de surfaces enveloppées, ayant son enveloppe particulière.

D'ailleurs, comme l'équation [F] renferme deux variables indépendantes x7 y, il est permis de la différente par rap-

port à chacune de ces variables, ce qui donne

tfF dF dF dF

dx ^ dz ' dy * ds l J

l'élimination de a, /3 entre les équations [F] et [F'] conduit à l'équation aux différences partielles du premier ordre

et toutes les surfaces enveloppées données par l'équation [F], comme aussi toutes les surfaces enveloppes données par l'élimination de « entre les deux équations

jouissent évidemment de la propriété de satisfaire à l'équation (f).

C'est ici que se rompt le fil de l'analogie entre la théorie de l'enveloppement des courbes planes et celle de l'enveloppement des surfaces. Effectivement, nous avons vu que les courbes enveloppées et la courbe enveloppe satisfont à la même équation différentielle à deux variables, dans laquelle le paramètre variable n'entre pas ; mais il y a une infinité d'enveloppées pour une enveloppe, et par conséquent l'équation commune aux enveloppées satisfait d'une manière plus générale à l'équation différentielle que ne le fait l'équation de l'enveloppe. Au contraire, l'équation [F] satisfait à l'équation (f) aux différences partielles, dans laquelle les paramètres a, /3 n'entrent pas, avec moins de généralité que ne le fait le système des équations ((F)) ; puisque toutes les surfaces données par l'équation [F] sont des surfaces de même espèce, qui ne diffèrent que par les valeurs numériques des paramètres a, |3 ; tandis que les surfaces qui sont données par le système des équations ((F)) varient d'espèce selon la forme assignée arbitrairement à la fonction <p, et ne

DES SUBFÀCES ENVELOPPES. 425

sont unies entre elles que par un caractère de famille, celui de satisfaire à une même équation aux différences partielles.

Si l'on élimine a, ]3 entre l'équation [F] et ses deux dérivées par rapport à a et à ]3,

rfF dF n ^=0^=°'

ou a une équation en x, y, z seulement

qui satisfait encore à l'équation (/*) ; et la surface (¥) jouit de la propriété de toucher ou d'envelopper, non-seulement les enveloppées [F], mais encore les enveloppes ((F)). Cette enveloppe générale et individuellement déterminée correspond à la courbe enveloppe, déterminée individuellement, d'après la théorie de l'enveloppement des courbes : et l'équation (Y) qui satisfait à l'équation (/") , sans pouvoir rentrer dans le système ((F)) par une détermination convenable de la fonction arbitraire 9 , est une de ces intégrales singulières dont on a annoncé l'existence [167], et sur lesquelles nous devons revenir en traitant de l'intégration des équations aux différences partielles.

259. Les remarques du n° précédent, au sujet de l'indétermination de la fonction <j> qui entre dans les équations ((F)), indiquent la liaison de la théorie de l'enveloppement des surfaces avec celle du groupement des surfaces par familles qui a fait l'objet spécial du précédent chapitre ; mais cette liaison sera rendue plus sensible au moyen des considérations suivantes.

Au lieu de concevoir qu'on élimine a entre les équations ((F)) , pour obtenir l'équation de la surface enveloppe qui correspond à une forme particulière de la fonction <j>, prenons ces équations simultanément , de manière qu'elles re-

426 LIVRE IV, — CHAPITRE Vin.

présentent la caractéristique qui correspond à cette forme particulière de 9 et à une valeur particulière de a. Mettons de plus la seconde de ces équations sous la forme dF dF , A

comme les variables x, t/, z ne sont pas comprises sous les signes 7, <p', on voit que les équations de la caractéristique se trouvent composées de la même manière en x> y, z, quelle que soit la forme assignée à la fonction <p. Par conséquent, cette caractéristique peut être considérée comme la génératrice qui décrit à volonté Tune quelconque des surfaces enveloppes ((F)) , en changeant de position dans l'espace ou même de forme suivant une loi déterminée pour chaque enveloppe par la forme de la fonction 9 ; mais de manière toutefois que la composition en x, y, 2 des équations de la génératrice ne change pas. De là le nom de caractéristique donné par Monge à la ligne dont il s'agit, parce qu'elle imprime un caractère de famille à toutes les surfaces comprises dans le système ((F)) , et qui jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation (f).

Au point de vue analytique, la description d'une surface par la génératrice dont les équations sont

F (*, y y *, a, ya) = 0, F, (a?, y, z, a, y*) = 0, (b)

n'est qu'un cas particulier de la description par une génératrice dont les équations prendraient la forme

F (*, V, *> «, v>> f '«) = 0, F. (a?, y, z, «, ?«, ?'«) = 0 . (A.) Le second système n'a pas, dans sa signification, plus d'étendue que l'autre, parce que la fonction <p' est déterminée par cela seul qu'on assigne la fonction <p : seulement, si les fonctions F, F, sont algébriques, on peut tirer des équations (b)

^-f(^9yyZ)frL^l(x,yyZ\

et par suite

t(x,y9*)=T[fbf,jf,z)],

f, f désignant des fonctions connues ; tandis que l'élimination ne sera praticable entre les équations (bt) qu'après qu'on aura particularisé la fonction <p : ce qui empêche d'exprimer par une seule équation toutes les surfaces de même famille que le système (bt) représente, à la faveur de l'indétermination du signe <p.

Si maintenant on suppose que la fonction F ne contient pas g>'<x, et que Ton ait

d¥ dF ,

on retombe encore sur un cas particulier de description qui est celui dont nous nous occupons dans ce chapitre : la génératrice prenant le nom de caractéristique , et étant donnée par l'intersection de deux enveloppées infiniment voisines.

260. La même enveloppe peut avoir des caractéristiques différentes, ce qui revient à dire que la même surface peut avoir diverses génératrices, et (par suite appartenir à la fois à diverses familles [242].

Mais sans sortir de la même famille de surfaces, caractérisée par la même équation aux différences partielles , on trouve que la même enveloppe peut correspondre à une infinité de systèmes différents d'enveloppées ; ou que la caractéristique, dont le mouvement engendre la surface enveloppe, et qui est donnée par l'intersection de deux enveloppées consécutives, peut rester la même, quoique les surfaces qui se coupent soient différentes.

Pour en donner un exemple bien simple, imaginons un plan qui se meuve en touchant constamment l'enveloppe suivant une caractéristique : ce plan engendre une surface

développable, dans l'équation de laquelle entrent a et ç a ; de sorte que, si Ton y fait varier a, on obtient une suite de surfaces développables tangentes à l'enveloppe, et dont deux quelconques consécutives se coupent suivant une des caractéristiques. Donc, si Ton suppose que la surface développable change sans cesse de forme et de situation dans l'espace en vertu de la variation continue du paramètre a, elle aura la même enveloppe que le système des enveloppées primitives. Monge l'appelle l enveloppée développable. On pourrait imaginer une infinité d'enveloppées différentes, ayant les mêmes caractéristiques et la même enveloppe.

Ceci se voit aussi facilement par l'analyse. En effet, puisque la fonction <j>, dans le système des équations ((F)), peut être particularisée d'une manière quelconque, il est permis de poser, par exemple,

fa =z a + b<9

a et b étant d'autres constantes quelconques , ou bien encore

fa = a + a$a,

<p désignant une autre fonction quelconque. On pourra alors éliminer a entre les équations ((F)), et Ton aura l'équation d'une enveloppe de la forme

Or , rien n'empêche d'attribuer à <|> une forme arbitraire quelconque , puis de faire varier le paramètre a d'une manière continue ; on reproduit ainsi une série d'enveloppées, distincte de la série des enveloppées primitives , et dont néanmoins les enveloppes jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation (f) ; ce qui suppose qu'elles ont avec les nouvelles enveloppées les mêmes lignes de contact qu'avec les enveloppées primitives.