Un exemple éclaircira tout ce qui précède. L'équa

lion

quand on y considère a, /3 comme des paramètres susceptibles de varier sans discontinuité , appartient à une infinité de sphères , qui toutes ont leur centre dans le plan xy et le même rayon R. Cette équation, différentiée par rapport aux deux variables indépendantes x, y, donne

X— ec + pS—O, y — p + q% = 0;

et Ton en déduit l'équation aux différences partielles

à laquelle satisfont toutes les surfaces sphériques représentées par l'équation (1).

Les paramètres a, |3 désignent ici les coordonnées du centre de la sphère. Si Ton établit la liaison arbitraire j3=fa, ce sera faire la même chose que si Ton traçait arbitrairement dans le plan xy la courbe que doit décrire le centre de la sphère mobile. L'enveloppe de toutes les sphères de même rayon, qui ont leur centre sur la courbe ainsi tracée, est un canal, à section circulaire constante, qui a pour axe ou pour ligne médiane la courbe tracée arbitrairement. Toutes les surfaces de la famille des surfaces-canaux, parmi lesquelles le cylindre droit se trouve compris, sont donc représentées par le même système des deux équations

(*-*)P + (y-t«0P + S»=Ri,

et elles jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation (2), aussi bien que les sphères qu'elles enveloppent.

En effet , la propriété géométrique exprimée par l'équation (2) consiste en ce que le cosinus de l'angle de la normale avec l'ordonnée z a pour valeur numérique [237] + g,

ou bien en ce que la normale vient couper la ligne médiane du canal , ce qui est un caractère évident des surfaces de cette famille.

Le système des équations (3), quand on n'y considère plus a comme un paramètre à éliminer, détermine la caractéristique correspondante à la valeur a du paramètre : cette caractéristique, donnée par l'intersection d'une sphère et d'un plan qui passe par le centre de la sphère, est un grand cercle de la sphère.

Quand on joint aux équations (3) la dérivée du second

ordre

(y-HA-'-W-O, (4)

et qu'on élimine a entre les trois équations, après que la fonction <p a été particularisée, on a en x, y, z les équations de l'arête de rebroussement de la surface enveloppe.

Si l'on élimine «, |3 entre l'équation (1) et ses dérivées par rapport à a et à /3,

«-« = 0, y — p = 0, l'équation résultante s* = R*, ou 2= ±R satisfait encore à l'équation (2). La surface qui touche à la fois toutes les enveloppées ; et toutes les enveloppes comprises dans le système des équations (3), ou l'enveloppe générale de toutes les surfaces qui satisfont à l'équation (2), se réduit donc au système de deux plans, parallèles à celui des xy> comme cela était évident avant tout calcul.

Si l'on pose, dans les équations (3), ça = a a + 6, et qu'après la substitution on élimine le paramètre a, il viendra pour équation résultante

équation d'un cylindre circulaire dont le rayon est R, et dont l'axe, compris dans le plan x y, a pour équation

y =s ax 4- 6. Effectivement, nous avons déjà remarqué qu'un tel cylindre est compris dans la famille des surfaces-canaux qui peuvent envelopper l'espace parcouru par une sphère de même rayon, dont le centre mobile décrit une ligne sur le plan xy. Et de même on peut faire mouvoir Taxe du cylindre dans ce plan, de manière que l'enveloppe soit Tune quelconque des surfaces-canaux représentées par le système des équations (3), ou Tune quelconque des sphères données par l'équation (1). Pour faire mouvoir le cylindre de manière que l'envploppe soit une sphère, il suffit de donner à Taxe un mouvement de rotation autour de l'un de ses points pris pour centre fixe.

Le cylindre (5) -est l'enveloppée développable dont il a été question plus haut.

262. Pour exprimer que nous établissions une liaison entre les paramètres *, /3, nous avons écrit |3 = <j>«, mais il aurait été plus général d'exprimer cette liaison par l'équation

*(«, fl = 0; M

et alors le système des deux équations ((F)) se serait trouvé remplacé par un système de quatre équations

dF dF F(s, y.*,*,/3)=0, — àx+— d?=0,

Cette notation plus compliquée est même la seule qui soit aussi complète que la généralité de l'analyse le requiert. Rien n'empêche, par exemple, de supposer que l'équation (h) prenne accidentellement la forme

h, h désignant des constantes : auquel cas on en déduit o=fe, (3 = k, sans qu'il soit possible de tirer de l'équation (nt) une relation de la forme |3 = y«, à moins d'employer des sym-

boles imaginaires. C'est ainsi que, dans le système des équations (3), on ne peut pas particulariser la fonction <p de manière que ce système représente Tune des enveloppées sphériques, qui cependant sont comprises parmi les surfaces jouissant de la propriété de satisfaire à l'équation (2). Sous ce rapport, on pourrait dire que le système (3) n'a pas la même généralité que l'équation (2), et qu'il faut y joindre, pour le compléter, l'équation générale des sphères enveloppées : mais ceci ne tient qu'aux limitations introduites par un mode de notation destiné seulement à rendre l'écriture plus concise ; et les limitations disparaissent lorsqu'on donne aux notations la généralité qu'elles comportent.

Cette remarque est si simple, que nous l'aurions négligée si elle ne faisait évanouir une difficulté à laquelle Lagrange a semblé attacher de l'importance (!).

*263, Puisque l'équation (f) subsiste pour des enveloppées quelconques, elle subsiste aussi pour la ligne d'intersection de deux enveloppées, et peut être considérée comme une équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de cette ligne. Après qu'on a posé/3= fa, les équations des deux enveloppées qui se coupent ne diffèrent plus que par la valeur du paramètre a ; et sur la ligne d'intersection les valeurs de x, y, z sont les mêmes, mais celles de p, q varient en raison du paramètre « ; ou, en d'autres termes, les deux surfaces ont, en chaque point de la ligne d'intersection des plans tangents inclinés l'un à l'autre. Mais si la ligne d'intersection se change dans la caractéristique, les deux enveloppées devenant infiniment voisines, l'inclinaison de deux plans tangents s'efface, et l'on a

df . v. df dp , df dq A (') Leçons sur le calcul des fonctions, V édit., p. 372 et 374.

caries coordonnées *, y, z, étant prises sur une ligne commune aux deux surfaces, ne varient pas en raison de « D'un autre côté, si l'on différentie par rapport à « l'équation ^

dz=pdx+qdy, ^

on a, par la môme raison,

L'élimination de ^, ^ entre les équations (/") et (c') donne

*f * df,

Tpdy-rqdx = 0, w

équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la caractéristique, en môme temps qu'elles satisfont à l'équation (f).

Dans l'exemple qui nous occupe, on trouve

df « df TP=**>>Tq=*>> et par suite

pdy—qdx=z 0;

ce qui exprime que les caractéristiques des surfaces-canaux sont en môme temps les lignes de plus grande pente de ces surfaces [126].

Les équations (c) et (/"') appartiennent à une caractéristique quelconque, placée sur une enveloppe quelconque ; et les quantités/?, q, qui entrent dans ces équations, spécifient pour chaque point (x, y, z) la caractéristique menée par ce point. Donc, si Ton élimine p, q entre les trois équations (/*), (c) et (/*"), l'équation résultante appartient à la courbe qui est touchée par toutes les caractéristiques, ou à l'arête de rehaussement de la surface enveloppe.

On trouve ainsi que les coordonnées de Faréte de rebrous- «• 28

sèment des surfaces-canaux doivent satisfaire à l'équation différentielle

dx* + dy1 + cfa1 = ^(rfa?1 + dy*).

Cette arête de rebroussement peut d'ailleurs se réduire à ipi point, ou même devenir imaginaire* Posons, par exempt m

ycc = l/R1a — «*:

l'équation (4) se réduit à y = 0 ; et de la seconde équation (3) qui devient alors

ai/Ri*— a1 — ay = 0,

on tire aussi x = 0 ; enfin ces valeurs de a? et de y, substituées dans la première équation (3), donnent pour la valeur correspondante de l'ordonnée z,

a? = ±i/Ra — R,»;

de sorte que l'arête de rebroussement se réduit à deux points situés sur Taxe des z, dans le cas de R > Rt, à un seul point (qui est l'origine des coordonnées) pour R= R„ et finalement devient imaginaire si l'on a R < Rf , auquel cas la surface décrite est un anneau proprement dit [236].

264. Montrons maintenant comment on peut déterminer la fonction arbitraire <p, de manière que la surface assignée par le système des équations ((F)) passe par une courbe

donnée .

ffoy,*) = 0, (f) I

tt(x,y,z) = 0. (ft) S {l'li)

Pour cela, il faut que la tangente à cette courbe se trouve constamment dans le plan tangent à l'enveloppée et à l'enveloppe au point (x, y, z). Soient

ç-*=p(? -*) + ?(* -y) l'équation du plan tangent, et

dx t % dy t

les équations de la tangente à la courbe (f, f,) : p, q sont des quantités données en fonction de x, j/, z, a, (fa, au moyen

de la première équation ((F)) ; tandis que g|, g| sont des

fonctions de x, y, z fournies par la différentiation des équations (f ), (ft). Cela posé, la condition que Ton vient d'énoncer établit entre x, y, z, a, <pa une liaison exprimée par l'équation

d* dV Â ,~

Après qu'on en aura chassé x, y, z au moyen de l'équation de l'enveloppée et de celles de la courbe, elle deviendra de la forme

ir (*, fa) = 0, (tt)

et déterminera par conséquent la fonction (j>.

Si cette fonction devait être assignée d'après la condition que l'enveloppe correspondante touchât la surface (f ), on

tirerait de (f ) les valeurs de g|, ->- en x, j/, z, et l'équation

(d) se trouverait remplacée par

dz dz , .

' = £' q = Ty> (e)

les valeurs de p, q étant censées données, comme tout à l'heure, en fonction de x, y, z, a, <pa, par la différentiation de l'équation de l'enveloppée. On joindrait ensuite l'équation de l'enveloppée aux équations (f ) et (e), et l'on éliminerait x, y y z entre ces quatre équations, ce qui donnerait la relation cherché («) entre « et <pa.

La fonction <j> déterminée, on aura par' la différentiation la fonction 9', et l'on pourra substituer dans les équations ((F)) les valeurs en «de <j>a, <j>'a, puis éliminer a, afin d'avoir

436 LIVRE IV. — CHAPITRE Vin.

en x, y, z l'équation de l'enveloppe cherchée; ou (ce qui revient au même) on peut joindre à l'équation (rc) sa dérivée

et procéder d'une manière quelconque à l'élimination de «, f«, tf'a entre les quatre équations ((F)), (»), («').

265. Proposons-nous comme application de déterminer la fonction <p qui entre dans le système des équations (3), de manière que la section de la surface du canal par le plan xz soit l'ellipse

l'équation (d) deviendra

a?— a fi* a? a*

et l'on aura pour l'équation (tt)

On peut remettre |3 à la place de <pa : a, /3 désignant alors les coordonnées courantes, parallèlement aux axes des x et des t/, de l'axe curviligne ou de la ligne médiane du canal dans le plan xy. Selon qu'on aura a < ou > bf l'équation de cette ligne

appartiendra à une ellipse ou à une hyperbole. Nous supposons b < R, afin d'éviter la difficulté qui naîtrait de ce que la courbe (6) ne resterait pas comprise dans toute son étendue entre les deux plans z — + R qui limitent les surfaces données par le système des équations (3).

Il est d'ailleurs évident que la courbe (6) ne doit déter-

miner la courbe (7) que dans la portion de son cours comprise entre les droites |3 = + R ; ou, en d'autres termes, que l'intersection de la surface enveloppe par le plan x z ne change pas, quel que soit le tracé de la ligne décrite par le centre de la sphère enveloppée sur le plan xy, dès que le centre de la sphère est à une distance de l'axe des x plus grande que son rayon. Ainsi l'équation (6) ne peut donner la fonction arbitraire <p dans toute l'étendue de son cours qu'autant qu'on admet que cette fonction <p est algébrique et conserve dans tout son cours la même expression algébrique, remarque analogue à celle que nous avons déjà faite à l'occasion des surfaces de révolution [256].

266. On peut admettre que l'équation d'une enveloppée contient trois paramètres arbitraires «, /3, y, et devient de la forme

après qu'on a posé p = y«, y=^«. Le système, de cette équation et de sa dérivée

dF dF , tdF t, a* a? df

appartient à un ordre de surfaces enveloppes, dont chacune est déterminée individuellement après qu'on a assigné les fonctions <p, +. Il n'y a pas plus de difficulté à supposer que l'équation de l'enveloppée renferme un nombre quelconque de paramètres variables, liés entre eux d'une manière arbitraire ; mais nous nous bornerons à considérer le cas où l'enveloppée est un plan en mouvement dans l'espace suivant une loi quelconque.

Soient donc

% = a + Xfa + y}* {g)

l'équation du plan mobile, et

sa dérivée par rapport à a : le système des équations (g), (ff 0 est propre à représenter une surface développable quelconque. On en déduit p = s a, q = <J>a, et par suite

p=Zf(z-px— qy), (A) ? = M* — P*— ?y)> (*t)

ou

ce qui mène aux équations déjà trouvées [168 et 245]

*267. La caractéristique donnée parle système (g), (g')? pour chaque valeur de a, est une ligne droite. On aura [263] une équation différentielle de cette caractéristique, si Ton différentie l'équation (i) en y regardant py q comme variables, ce qui donne dp = H'ç.dç, et si Ton chasse dp, dq au moyen de l'équation

dpdx + dqdy = 0, d'où pdy + n'qdx=zO. (/)

L'équation (/) exprime que le rapport -& est fonction des seules quantités p9 q ; ce qui résulte en effet de ce que le même plan touche la surface développable en tous les points de la caractérisque. Cette équation renferme un signe de fonction arbitraire ; mais, en s'élevant au second ordre, on aurait une autre équation différentielle de la caractéristique, où le signe n n'entrerait pas. En effet, puisque l'équation (k) appartient à toute surface développable (quoique les fonctions r, s, t varient d'une surface à l'autre), lorsque deux surfaces développables se touchent suivant une caractéristique commune aux deux surfaces, on doit avoir, pour les points situés sur cette ligne,

tdr — teds + rdt = 0. (*')

En vertu des équations (g), (g'), le plan tangent ne change pas avec les coordonnées x, y, z, pour les pointe situés sur

la caractéristique, d'où

dp = rdx + sdy = 0, dq = sdx -f tdy = 0,

et, par suite d'une nouvelle différentiation,

drdx + (ferfj = 0, dsdx + d% = 0.

Au moyen de ces deux dernières équations on chassera de (fc')les différentielles dr, ds9 dt, et il restera, pour l'équation différentielle de la caractérisque,

rdx* + Zsdxdy + tdy* = 0, (m)

ou plus simplement, en vertu de l'équation (A:),

[/7.dx + i/t7dy=zQ.

Pour obtenir les équations de l'arête de rebroussement de la surface développable, il faut joindre aux équations (g), [g1) la dérivée du second ordre

et éliminer ensuite a. On a une équation différentielle à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la môme ligne, en éliminant p, q entre les équations (i), (/), auxquelles on joint dz = pdx + qdy. Ceci conduit à une équation ni {dxj dy, dz) = 0 : la fonction II t ne pouvant être déterminée qu'après qu'on a assigné la fonction II dont elle dérive.

268. Proposons-nous maintenant de déterminer les fonctions <p et <J>, de manière que la surface développable passe par deux courbes données

fi &,*$ = *, if i)\ff f,M*,*.*> = 0,(ft)| {f f ^ (*, y, s) = 0; (f.)!*" Il} f, <*, y, *) = o. (ft) > Vw ^

Un calcul identique avec celui du na 264, répété pour chacune des deux courbes directrices, donnera deux équations de la forme

*t (*> **> +«) = °s (ff 1) ** («> f*> f *) = ° ; (**)

et en les résolvant on aura les fonctions <p et <J* qui pourraient être substituées dans les équations (</), {g')\ de manière qu'il ne restât plus qu'à éliminer a pour avoir en x, y, z9 l'équation de la surface développable demandée. Mais, jiour éluder la résolution des équations (ttJ, (tt,), on peut y joindre leurs dérivées

dnt . dff, . . dnt .

ir + t1- » * + 7t ■ + * = °» (* l)

ax a? ay

d*% dnt dirt

T~ + T" ' * a +"77 • + «— 0, (ir t)

et procéder à l'élimination des cinq variables a, <pa, <p'a, <K <J/a entre les équations (g), (g')y (irt ),(*•)> (rc'j) et (tt'J.

Si les fonctions <p, <J> devaient être déterminées d'après la condition que la surface développable touchât les deux surfaces (ft)j (ft), on répéterait pour chacune de ces surfaces le calcul indiqué dans le n° cité ; et l'on arriverait à deux équations en x, y} z qui pourraient être prises pour les équations (ft), (f,) ; après quoi le calcul s'achèverait comme dans le premier cas.

269. On sait que, lorsqu'un corps opaque est éclairé par un corps lumineux de dimensions finies, les deux nappes d'une surface développable, tangente aux surfaces des deux corps opaques et lumineux, limitent dans l'espace l'ombre et la pénombre. Comme cette application donne plus d'intérêt au dernier problème dont nous venons d'indiquer la solution , nous ne négligerons pas quelques simplifications que l'on peut apporter à la méthode dans ce cas particulier.

L'équation du plan qui touche la surface (/"J au point (slf yi7 zt) et la surface (ff) au point {xtJ ytt z,), est indifféremment

* — *i=Pi(s— *t)+ ?i(y— Si). M

* — *■ = Pi (» — *•) + 9t ty — Vi) : (»•)

pt, qt étant donnés en fonction de ai9 yn zt par la différentiation de l'équation

M*u!fi>*i)=0» (A)

et pt, q% en fonction de xt, j/t, z% par la différentiation de l'équation

On en conclut

*i — i^t — ?i»i = *• — .Pi^t — ?«»* î (o)

et Ton a d'ailleurs

/>1=/>Î> ?!=?»• (iP)

Au moyen des équations (A), (A), (o), (/>)> au nombre de cinq, on chassera a?„ y9, z%, et l'on déterminera yt, *, en fonction de a?, ; par suite de quoi l'équation (nj prendra la tonne

Il suffira donc d'éliminer le paramètre xt entre cette équation et sa dérivée par rapport à xx ,

0= X.fXi + y.ï'Xi + n'Xi,

pour avoir en xy y, 2 l'équation de la surface développable demandée. .

S'il s'agit seulement de déterminer sur le corps opaque, dont nous supposerons que l'équation soit (A), les lignes de contact avec la surface développable qui l'enveloppe, ou les lignes qui séparent la pénombre de l'ombre pure et de la partie complètement éclairée, on se contentera de chasser x% , yi7 zÈ des équations (A)> (0), (p) : l'équation résultante

fi(*i,yM*i),

combinée avec l'équation (£), déterminera le système des lignes de contact.