CHAPITRE IX

270. On a vu [232] que les droites d'intersection de deux plans infiniment voisins, normaux à une ligne à double courbure, ou les droites menées par les centres de courbure de cette ligne, perpendiculairement aux plans osculaleurs correspondants, ont une ligne enveloppe, conjugée à la courbe proposée en ce sens qu'elles échangent mutuellement leurs flexions aux points correspondants : la première flexion de Tune étant la seconde flexion de l'autre, et réciproquement. Nous devons ajouter maintenant que cette ligne enveloppe est l'arête de rebroussement d'une surface développable qui aurait pour génératrice la droite mobile, constamment déterminée par l'intersection de deux plans infiniment voisins, normaux à la courbe proposée.

Nous disons, de plus, que cette surface développable est le lieu de toutes les développées, en nombre infini, que la courbe proposée est susceptihle d'avoir.

Reportons-nous en effet aux premières notions géométriques qui servent de point de départ à la théorie des développées. D'abord on conçoit qu'un cercle peut être décrit par l'extrémité mobile d'une droite de longueur constante, dont l'autre extrémité est fixe, non-seulement quandl'extrémité fixe coïncide avec le centre du cercle,mais encore lorsqu'on prend pour cette extrémité fixe l'un quelconque des points de la droite élevée par le centre du cercle, perpendiculairement à son plan. On énonce ce fait en disant que chaque point de la

droite est un pôle du cercle et de tous les cercles concentriques situés dans le même plan. La droite à laquelle les points appartiennent prend le nom de ligne des pôles.

Passons de la considération du cercle à celle d'une courbe plane quelconque. Traçons la développée de la courbe dans son plan, et construisons la surface cylindrique dont cette développée serait la section droite [248] : un point quelconque v de la génératrice pv, qui passe par le point p de la développée, correspondant au point m de la développante, peut être considéré comme le pôle du cercle osculateur en m, dont un arc infiniment petit se confond avec l'arc infiniment petit mml de la courbe développante. La droite mv touche le cylindre en v, car sa projection w/x sur le plan de la développée touche la développée en jx. Si l'on fait mouvoir le plan tangent dans lequel elle est comprise, de manière qu'il ne cesse pas de toucher la surface, le prolongement de la droite mv vient rencontrer les génératrices

consécutives en des points vt, vt, v8, correspondant aux

points ft, //„ pj, de la développée, et aux points m„

mt, wi8, .... de la développante. On trace ainsi sur la surface du cylindre une courbe w t vt v8 dont les tangentes

font un angle constant avec les génératrices, et qui se transformerait en ligne droite si la surface cylindrique était étalée sur un plan. Or, les points vt, vt, v8, . . . . sont des pôles des cercles oscillateurs de la développante aux points mt, m„ ms,. . . ; pt les arcs infiniment petits, pris sur ces cercles se confondent avec les arcs infiniment petits de la courbe développante. Donc les arcs mml9 m^ m„ mtmi9. . . . peu- . vent être successivement décrits, d'abord du point v comme pôle avec le rayon v m, puis du point «t comme pôle avec le rayon v,, mâ, puis du point v, comme pôle avec le rayon vtm%r et ainsi de suite. Donc, si l'on développe un fil préalablement enroulé sur la courbe vv»vB,vs. . . (le prolongement

rectiligne de ce fil aboutissant à la développante en m, et se trouvant perpendiculaire à l'élément mm^ l'extrémité du fil décrira d'un mouvement continu la courbe plane m ml m, m,.... sans cesser d'être perpendiculaire à l'élément actuellement décrit.Par conséquent la ligne à double courbure *>, vt vt... peut, aussi bien que la courbe plane>pt ^ fv- • • •* être regardée comme une développée de la courbe plane

On a pu mener la droite mv de manière à rencontrer en un point quelconque et sous un angle quelconque la génératrice qui passe par le point ^ : une courbe plane a donc une infinité de développées à double courbure, toutes situées sur la surface cylindrique qui est le lieu des pôles de la développante, et qui a pour section droite la développée plane. Toutes ces développées ont la propriété caractéristique de couper les génératrices sous un angle constant, et de se transformer en lignes droites quand on étale la surface cylindrique sur un plan .

271. Considérons enfin une ligne quelconque à double courbure m mv m% m,... ainsi que la surface développable qui a pour génératrice la droite d'intersection de deux plans normaux infiniment voisins. Le plan normal en m touebe cette surface suivant une génératrice pv, le point fi étant le centre de courbure de la ligne donnée, qui correspond au point m. Par le point m menons arbitrairement dans le plan normal à la courbe et tangent à la surface une droite qui touche la surface en un point quelconque v de la génératrice p. Si l'on fait mouvoir le plan dans lequel cette droite est comprise, sans qu'il cesse de toucher la surface développable et d'être normal à la courbe proposée, le prolongement de la droite mv viendra rencontrer les génératrices consécutives aux points v„ yt, v3, .... et s'appliquer sur la surface suivant une courbe v vt v, v8 .... qui jouira inversement de la

propriété de se transformer en ligne droite lorsqu'on étalera la surface développable sur un plan. Les points v„ v„ v,,.... sont les pôles des cercles oscillateurs de la courbe proposée aux points correspondants ro„ m„ mi9 .... qui ont pour centres de courbure p„ p8, f*a,.... et auxquels se rapportent les génératrices v,(xn v^, v8^.... D'où il faut conclure, comme dans le cas particulier envisagé d'abord, que la courbe v v, vf v,.... est une développée de la proposée. On a pu choisir arbitrairement le point initial v sur la génératrice p; et ainsi la courbe proposée a une infinité de développées, toutes situées sur la surface développable, définie en commençant, et que, pour cette raison, nous appellerons la surface des pôles. Le caractère distinctif de toutes ces développées est de se transformer en lignes droites lorsque la surface développable s'étale sur un plan.

On a vu [233] que la ligne des centres de courbure, quoique située sur la surface des pôles, n'est pas une développée, à moins que la proposée ne soit plane.

273. Pour avoir en |, *î, f, l'équation de la surface des pôles, il faut chasser x, y, z et leurs différentielles des deux premiers ordres, des équations

(ç— x) dx+ (iî — y) dy + (ç — z)dz = 0, J ()

iZ—x)d*x + {*-y)d*y+{*-z)d*s - <fo2 = 0, | u

au moyen des équations de la courbe proposée et de leurs dérivées des deux premiers ordres [232]. L'équation (g) du n° suivant exprime que la tangente à la développante au point (#, t/, z) coupe à angles droits la tangente à la développée au point correspondant (Ç, yï, £) ; ce qui résulte d'ailleurs, sans calcul, de ce que le plan normal à la développante en (x, t/, z) touche la surface des pôles suivant la génératrice passant par le point (?, to, Ç).

Si les variables £, to, K désignent plus spécialement les

coordonnées courantes de l'une des développées, il faudra qu'elles satisfassent aux équations (a), et, de plus, qu'elles soient liées 'par la condition que le rayon mené du point (£, ïî, f) de la développée au point correspondant (x7 y> z) de la développante, touche la développée. Cette condition s'exprime par la formule

Lorsqu'on a chassé x, y, z et leurs différentielles des équations (a) et (b), au moyen des équations de la développante, il reste deux équations en Ç, yî, £, dZ, rfn, d£, communes à toutes les développées. L'intégration de ces équations amènerait deux constantes arbitraires dont les valeurs particularisent chaque développée [163 et 165].

274. Prenons pour développante l'hélice définie par les équations (h) du n° 234 ; les équations (a) deviendront

ç sin ? — * cos ? = a (? — oR?), Çcosj> + usin?= — &R, (c) et elles donneront

5î + »il=:0*Rl+a,(;-aR?)S

d'où

? aR r a*R* f*

Cette valeur de y, substituée dans l'équation (c), donne pour l'équation de la surface des pôles,

= ±(cosi-,,ta .!)>„, J/iL+^(. W

On a vu [235] que l'arête de rebroussement de cette surface développable, identique dans le cas actuel avec la ligne des centres de courbure de la développante, est une autre hélice

de même pas, ayant le même axe, située sur la même surface hélicoïde gauche [253], et dont les équations en £, m, £

sont

Ç = — afRcosy, « = — a*Rsin ?, Ç = aR?. (e)

On donne à la surface développable qui a pour arête de rehaussement une hélice, le nom de surface hélicoïde développable.

Le radical qui entre dans l'équation (d) sous les signes sin et cos, devient imaginaire quand on suppose

ou, d'après les équations (*)), quand on pïend le point (£, tq, Ç) dans l'intérieur du cylindre sur lequel s'enroule l'arête derebroussement de l'hélicoïde développable. Or, le sinus d'un arc imaginaire est imaginaire, tandis que le cosinus du même arc se change en exponentielles réelles [75]. Donc la surface hélicoïde développable ne pénètre pas dans l'intérieur du cylindre sur lequel s'enroule son arête de rehaussement, et toutes les sections planes de cette surface éprouvent un rebroussement aux points où elles rencontrent l'arête.

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