CHAPITRE X
$ 4". Théorèmes de Meusnier et d'Euler. — Détermination des rayons de courbure principaux et des ombilics.
275. Concevons une infinité de lignes, planes ou à double courbure, tracées sur une surface et concourant en un même point : elles auront au point commun des rayons de courbure différents, en nombre infini ; mais néanmoins les valeurs de ces rayons de courbure seront liées les unes aux autres, et pourront être ramenées à ne dépendre que d'un petit nombre d'éléments. Nous allons procéder à cette réduction qui est un point capital dans la théorie des surfaces.
Soient
l'équation de la surface ; (#, t/, z) le point où concourent les lignes que Ton conçoit tracées sur cette surface : désignons par s l'arc de Time de ces lignes, plane ou à double courbure ; par p' le rayon de première courbure de cette ligne au point [x, t/, z) ; par p le rayon de courbure de la section normale [237] ayant la même tangente et passant au même point ; par 0 l'angle des rayons p, p' ; enfin par x\ y\ z', #", y"f z" les premières et les secondes dérivées des coordonnées x> y, z par rapport à Tare s pris pour variable indépendante : on aura, en différentiant deux fois de suite
l'équation (2),
z' = px'+qy', (*')
z" =zpxn + qy" + r x* + 2*r V + ty'% ; (*■)
et les dérivées x\ y', z' seront liées en outre par l'équation
de condition '
Le rayon p qui coïncide avec la normale à la surface, fait avec les x, y, z des angles X, p, v qui ont respectivement pour cosinus [237]
dtp ± q __3ELi__
Vi-t-p*+q*y Tr+F+7' v^r+TT^5
d'autre part, le rayon p' fait avec les mêmes coordonnées des angles dont les cosinus ont pour valeurs [228] ±pV,±>y,±p'z":
d'où Ton conclut, abstraction faite du signe de cos 9, et en vertu de l'équation (z"),
cos*.= //. ; *% * . (2)
Les dérivées x', t/', z' expriment encore, aux signes près, les cosinus des angles que forme avec les x, y, z la tangente à la ligne dont le rayon de courbure est p' : donc le facteur de p' dans l'équation (2) ne change pas, quelle que soit cette courbe, pourvu qu'elle passe par le point de la surface que Ton considère, et que la direction de la tangente en ce point ne change pas. En d'autres termes, on peut poser p' = K cos 0, K étant une constante pour toutes les courbes tracées sur la surface, qui ont la 'même tangente au point de concours. Mais, quand l'angle 0 s'évanouit, on a p' = p : donc K = />,
P pu»* w P rx'*+îsx'y'+ty'* w
Ainsi le rayon de première courbure d'une ligne quelconque tracée sur la surface, est ramené à dépendre du rayon de courbure de la section normale qui aurait la même tangente que cette ligne, et de l'inclinaison 0. Lorsque la première courbe est plane, on l'appelle section
oblique [237], et p' devient la projection de p sur le plan de la section oblique* Le théorème exprimé par la formule (a) porte alors le nom de théorème de Meusnier. On rend la signification de la formule plus générale en l'étendant aux lignes à double courbure, ainsi que cela vient d'être expliqué.
Il résulte du théorème de Meusnier que, si Ton décrit une sphère ayant pour centre et pour rayon le centre et le rayon de courbure d'une section normale, toutes les sections obliques ayant la même tangente que cette section normale ont pour cercles oscillateurs au point commun les petits cercles qui sont les intersections de la sphère et de leurs plans respectifs.
276. Pour simplifier la discussion des rayons de courbure des sections normales, admettons d'abord que le plan des x y soit mené parallèlement au plan tangent à la surface, au point de concours des sections, ce qui revient à poser p <=0, q = 0 : la formule (b) deviendra
rx'*+S$x'y' + ty'*9
et si l'on pose, comme cela est permis en vertu de l'équation (l)v
x' = cos f, y' rr sin f, tang y = a,
on pourra écrire
~r cos* f -*- 2s sin ? cos f •+- {sin* / ou
'=r + fc, + tf' (4)
(f désignant alors l'angle de la section normale avec un plan mené par la normale parallèlement à celui des xz.
On obtiendra les valeurs maxima et minirna du rayon de courbure p, en cherchant les valeurs de a qui rendent nulle ou infinie la dérivée
d> Sfr*8 + (r— Q«— 5]
dk (r + 8** + **■)■ '
En égalant le dénominateur à zéro, nous aurions
— s±Vsi — rt
valeurs qui ne seraient réelles que sous la condition s* — rt > 0, et qui correspondraient à un rayon de courbure infini, ou à une courbure nulle. Les maxima et minima proprement dits seront donc exclusivement donnés par l'équation , r — t
d'où Ton tire
Cette expression, toujours réelle, nous montre : 1° que sur toute surface, et pour tous les points non singuliers où les dérivées partielles p, ç, r, s,t peuvent se déterminer en fonction des deux variables indépendantes, sans solution de continuité, il existe parmi les sections normales deux sections principales pour lesquelles le rayon de courbure aune valeur maximum ou minimum; 2* que les plans de ces sections principales se coupent à angles droits, puisque le produit des racines de l'équation (a) est égal à — 1 .
277. Nous pouvons donc mener parallèlement aux plans des sections principales les plans des x z et des y z dont nous avions laissé la direction indéterminée, en sorte que, des deux racines de l'équation (a), Tune soit nulle et l'autre infinie ; ce qui revient à choisir la direction des plans coordonnés de manière qu'on ait s = 0. La valeur de p devient
alors *
rcos* f + t gin* ?' et l'on a, en désignant par Rt, R, les deux rayons de courbure principaux, qui correspondent respectivement à
sm9 = 0, cos<p = 0,
" = R|C0Stf + R"8in'?' (Sl)
Cette formule très remarquable est due à Euler. Elle donne les rayons de courbure de toutes les sections normales, et par suite ceux de toutes les sections obliques, en fonction des rayons de courbure principaux, et des angles <p, 6 qui fixent la position des plans de section par rapport aux plans des sections principales.
En désignant par pft, />, les valeurs de p pour deux sections normales rectangulaires, et d'ailleurs quelconques, on tire de l'équation (6,) la relation élégante
pi p% Ai lit
Lorsque les deux rayons principaux R0 Rf sont égaux et de même signe, c'est-à-dire, dirigés du même côté du plan tangent, la valeur de p devient indépendante de l'angle <p et la même pour toutes les sections normales. La surface de la sphère est la seule qui jouisse en tous ses points de cette propriété : mais on retrouve sur d'autres surfaces des points singuliers auxquels la même propriété appartient, et que Monge a nommés ombilics.
278. Si les dérivées r, t sont de même signe, les rayons principaux Rft, R, sont aussi de même signe, et le signe de pne change pas : la surface tourne sa convexité dans le même sens par rapport au plan tangent, tout autour du point de contact.
Admettons maintenant que les rayons principaux soient de signes contraires, par exemple R4 positif et Rt négatif : il y aura des sections normales situées au-dessus du plan tangent et d'autres au-dessous. La formule (&,) deviendra, après
qu'on y aura changé Rt en — R„ pour n'avoir plus à considérer que des nombres positifs,
- = — cos«? — — sin1?.
p Kl Ki
On voit que, si Ton fait croître l'angle <p à partir de zéro, le rayon variable p commencera par être positif, et ira toujours en croissant, depuis R« jusqu'à l'infini. Cette dernière valeur correspond à
ce qui est précisément la valeur de « donnée par l'équation (5), après qu'on y a fait s = 0, conformément à l'hypothèse sur la direction des axes.
Si donc on désigne par <p0 cette valeur particulière de <p, et que, dans le plan tangent, on mène deux droites qui forment, avec une parallèle à l'axe des x, des angles égaux à + p., toutes les sections normales dont les sections tombent dans les espaces angulaires où <p prend une valeur numériquement plus petite que <p0, ont leurs rayons de courbure positifs, et celles dont les tangentes tombent dans les espaces complémentaires ont leurs rayons de courbure négatifs. Rt est le plus petit des rayons de courbure positifs ; et, par la même raison, R, est la valeur numérique minimum des rayons de courbure négatifs, c'est-à-dire que — R, est un maximum algébrique de p«
Lorsque t oxxr prend une valeur nulle, s s'évanouissant par suite de la disposition des axes, l'un des rayons principaux est infini, l'autre a par conséquent une valeur numérique minimum, et son. signe est celui de tous les autres rayons de courbure.
279. Nous ferons remarquer qu'en vertu de l'équation (3), on peut représenter géométriquement la grandeur l/}
par le rayon vecteur d'une section conique rapportée à son centre, <p étant l'angle du rayon vecteur avec Taxe des x. De cette construction on déduirait sans autre calcul, en se reportant à la discussion bien connue des sections coniques, tout ce qui vient d'être établi sur les rayons de courbure des sections normales. On sait que la section conique est une ellipse, si Ton a ri — s* > 0 ; et, dans ce cas, tous les rayons vecteurs de la courbe auxiliaire étant finis et réels, tous les rayons de courbure sont finis et doivent être pris avec le môme signe. Si Ton a au contraire rt — s* < 0, l'ellipse doit être remplacée par deux hyperboles conjuguées, Tune de ces hyperboles correspondant aux valeurs imaginaires du rayon vecteur ou aux valeurs négatives du rayon de courbure. Les demi-axes de l'ellipse ou des deux hyperboles conjuguées correspondent en direction aux sections principales, et en grandeur aux rayons de courbure principaux. Enfin, quand on a ri — s* = 0, la section conique se trouve remplacée par le système de deux droites parallèles menées à égales distances de l'origine : la perpendiculaire abaissée sur ces droites correspondant en direction à Tune des sections principales, et en grandeur au rayon de courbure minimum.
280. Le théorème d'Euler sur les courbures des sections normales admet des exceptions qui n'ont été signalées qu'assez récemment par M. Poisson ('), quoiqu'elles soient tout à fait analogues aux exceptions que souffre la théorie des plans tangents [236]. Ces cas d'exception se présentent lorsque les dérivées r, s, t prennent au point de contact des formes indéterminées J, £, dont on ne peut lever l'indétermination qu'en établissant arbitrairement une liaison entre les variables indépendantes x9 y. Alors r, s> t deviennent des fonc-
0) Journal ie l'Ecole polytechnique, tl* cahier, p. 205.
lions du rapport désigné plus haut par a ; de sorte que les calculs précédents, fondés sur le principe que r, s, t ne dépendent point de «, cessent d'être exacts. Pour avoir un exemple des cas d'exceptions dont il s'agit, il suffit de considérer la surface engendrée par une parabole qui tournerait autour de son axe, tandis que son paramètre varierait suivant une loi exprimée par une fonction continue quelconque de l'angle de rotation. Un semblable paraboloïde a une équation de la forme
quand on prend pour axe de rotation celui des z, et qu'on place l'origine au sommet. Les sections normales comprises dans des plans menés par Taxe se confondent avec les paraboles génératrices. Le rayon de courbure varie d'une section à l'autre suivant une loi qui dépend de la fonction arbitraire f. Le rayon de courbure peut donc passer alternativement par des maxima et par des minima en nombre illimité ; seulement il doit y avoir autant de maxima que de minima, afin que le rayon de courbure revienne à sa valeur initiale après une révolution de la parabole génératrice.
M. Poisson a d'ailleurs remarqué que le théorème de Meusnier subsiste, même dans le cas où celui d'Euler tombe en défaut ; et c'est aussi ce qui se voit très simplement par la démonstration que nous avons donnée du théorème de Meusnier [275], laquelle n'exige pas que les fonctions r, 5, t dépendent seulement de #, y, z, et permet de supposer que ces fonctions varient avec la direction de la tangente à la courbe dont Tare est désigné par s.
281. Reprenons la formule (6) qui suhsiste, quelle que soit la direction de la normale par rapport aux axes des Xj y } z. Les dérivées x', y' qui entrent dans cette formule doivent satisfaire à l'équation (1), laquelle devient, en vertu
de (*),
(1 + p') x'* + ipgx'i' + (4 + f\ y'% = 4, (G)
et d'où Ton tire, par la différentiation,
[0 4 p») xf + pgy;] dff' + [(« + g1) y' +«*1 dy' =0.
En différentiant F équation {b) par rapport à p, on a
(rx' + *y') *■' + (m/ + fyO dy' = 0;
et en combinant ces deux dernières équations,
rx? + «y' «* + ¥ fl
0 + P1) *' + p?y' (1 + ç«) y' + pqx' ' W
Si donc on désigne par R l'un des rayons de courbure principaux, r équation en R s'obtiendra par l'élimination de x7 y' entre les équations (6), (7), et l'équation
r - V*+P + f rn
Posons, pour abréger,
V = rx" + &*Y + <y'« = i l/f+^+j»; (V)
multiplions respectivement par x' et par y ' les deux termes des fractions à gauche et à droite du signe d'égalité dans l'équation (7), après quoi nous ferons les sommes des numérateurs et des dénominateurs : la fraction résultante, en vertu de l'équation (6), se réduira au polynôme V. Il rân-
dradonc
rx' + sy' 8x} + ty'
[V(«+tf-r]*' = (#-WY)¥', J
et par la multiplication membre à membre,
[V(4 +/>*) -ri [V(l + f) -fl = fr-»V)"- Remettant au lieu de V sa valeur en R, tirée de l'équation
(V), et ordonnant, on aura enfin
Soient Rt, Rt les racines de cette équation, ou les valeurs des deux rayons de courbure principaux, il viendra
4 rt — à*
Ainsi, la condition pour que les rayons Rt , R f soient de même signe, est exprimée par rt — s* > 0, quelles que soient les directions des axes coordonnés ; et la condition pour que l'un des rayons principaux devienne infini, est aussi exprimée généralement par l'équation rt — s2 = 0, qui caractérise les surfaces développables.
Les rayons de courbure principaux sont, pour tous les points d'une surface, égaux en grandeur absolue et dirigés en sens contraires, si l'équation
est vérifiée pour tous les points de la surface. Nous verrons dans la suite que les surfaces caractérisées par cette équation aux différences partielles du premier et du second ordre jouissent d'une autre propriété géométrique également remarquable.
282. Les rayons principaux Rft, Rs, et par suite tous les rayons de courbure des sections normales, sont égaux et de même signe, si Von a
W+q*)r-ipqs + (\+p*)t]* — 4 (4 +p*+q%) (r/-s') = 0.
Cette équation pouvant se mettre sous la forme
équivaut -au système
j^-f = Of(«+^)e-(l+if«)r=:Oi (e)
OU
On aurait obtenu directement ces dernières équations, en exprimant que les équations (9) donnent pour V, et par suite pour p, des valeurs indépendantes de x\ y'.
Les coordonnées des points auxquels on a donné le nom d'ombilics [277] sont donc déterminées par le système des deux équations (e), combinées avec l'équation de la surface. Ces points sont isolés, à moins que les deux équations (e) ne deviennent accidentellement identiques : ce qui accuserait l'existence sur la surface d'une ligne que l'analogie porte à nommer ligne ombilicale, et que Monge a appelée ligne des courbures sphériques.
