Appliquons ceci à l'ellipsoïde

on a c*v c*y

p — m* 9 — iti*

Posons, pour simplifier,

il nous est permis de faire en outre l'hypothèse

a>b>c, ce qui rendra positives les constances A, B. On aura, pour

déterminer les coordonnées x, y des ombilics de l'ellipsoïde, les deux équations

a?y = 0, x* -Ay1 — B = 0, (g)

dont les seules solutions réelles sont

L'ellipsoïde a donc quatre ombilics symétriquement situés à la surface, dans le plan de la section principale qui comprend le plus grand et le plus petit axe. On démontre d'ailleurs, dans la discussion analytique des surfaces du second degré, que les plans tangents à l'ellipsoïde, aux quatre points dont on vient de déterminer la position, sont parallèles à ceux qui jouissent de la propriété de couper l'ellipsoïde suivant des cercles : ce qui se rattache à une autre définition des ombilics dont il sera question plus loin.

Si l'ellipsoïde a deux axes égaux, les ombilics, comme il est aisé de le conclure des formules précédentes, se confondent avec les sommets de Taxe de révolution.

$ 2. Lignes de courbure.

284. Imaginons que, sur une surface donnée (S), Ton ait tracé une ligne quelconque (s), et construit la surface réglée (2) dont la génératrice est assujettie à passer par cette ligne, en restant constamment normale à la surface (S) : en général la surface (2) est gauche, c'est-à-dire que ses génératrices n'ont pas de ligne enveloppe [443], ou que deux normales à la surface (S), menées par des points infiniment voisins, pris sur la ligne ($), ne se rencontrent pas. Au contraire, si l'on détermine convenablement la ligne (s), la surface (2) devenant développable, a une arête de rebroussement (a) touchée par toutes les droites normales à la surface (S) et

passant par la ligne (s) : ce qu'on exprime, dans le langage propre à la méthode infinitésimale, en disant que deux normales infiniment voisines se rencontrent en un point situé sur la ligne (a).

Les équations de la normale à la surface (S) au point {x, y, z) étant [237]

les coordonnées du point correspondant (Ç, n, Ç) sut l'arête (?) seront données par le système des deux équations (h) et de leurs dérivées

prises en considérant z comme une fonction des variables x9 y, en vertu de l'équation de la surface (S), et y comme une fonction implicite de X, donnée par le tracé de la ligne (s), ou par le tracé de la projection de cette ligne sur le plan xy. Or, les équations (/*') qui ne renferment plus que la coordonnée £, ne peuvent subsister ensemble qu'à la faveur de l'équation de condition

-(« +p')8 + pqr=z0. (•)

Après qu'on y a substitué pour p, q, r, s, t9 leurs valeurs en x, y, fournies par l'équation de la surface (S), l'équation (t), où n'entrent plus que les quantités variables 2, y9 y', est l'équation différentielle commune à toutes les projections sur le plan x y des lignes (s) qui ont la propriété de rendre développâmes les surfaces (2), ou suivant lesquelles deux normales infiniment voisines, élevées sur la surface (S), ont la propriété de se rencontrer.

Quand on suppose le plan x y parallèle au plan tangent à la surface (S) au point (x, y, z\ et par conséquent p=0,

9 = 0, l'équation (i) devient

en sorte qu'elle ne diffère de l'équation (a) que par le changement de a en y ' ; d'où Ton doit conclure : 1° que par chaque point de la surface (S) on peut faire passer deux lignes (5t), (s,) qui se coupent à angles droits, et qui jouissent de la propriété énoncée plus haut ; 2° que les plans normaux à (S), menés suivant les tangentes à ces lignes, coïncident avec ceux des sections normales principales. Pour cette raison, Monge adonné aux lignes (5t), ($t) le nom de lignes de courbure. Sur toute surface ou portion de surface, dont l'ordonnée n'éprouve pas de solutions de continuité du troisième ordre ou d'un ordre inférieur, on peut, d'après ce qui précède, tracer à volonté deux séries (st), (s,) de lignes de courbure qui partagent la surface en quadrilatères curvilignes dont tous les angles sont droits.

L'élimination de y' entre les équations (h') donne

(C- z)*(rt -s*) -'(ï -z) [(I + q%) r-%pqs+(\ +f) f]

et Ton a, en désignant par R le rayon du cercle oscillateur de l'une des sections principales, dont le centre est à l'intersection de deux normales infiniment voisines,

L'élimination de Ç — z entre ces deux dernières équations reproduira l'équation (R), trouvée plus haut par un calcul moins simple à quelques égards.

285. Les lignes de courbure, aux points où elles se coupent, sont tangentes aux deux sections principales ; mais ces sections, qui sont des courbes planes, et dont les plans passent par la normale, ne coïncident pas en général avec

les lignes de courbure, qui, ordinairement, ne sont pas comprises dans un plan.

Par exemple, sur une surface de révolution, Tune des lignes de courbure est le cercle d'intersection de la surface et d'un plan mené perpendiculairement à l'axe de révolution par le point de la surface où doit passer la ligne de courbure : car toutes les normales à la surface, menées par les points pris sur la circonférence de ce cercle, vont couper Taxe de révolution au même point ; d'où il résulte aussi que la poi> tion de la normale, comprise entre Taxe de révolution et la surface, est l'un des deux rayons de courbure principaux. Mais cette ligne de courbure, quoique plane dans le cas que nous considérons, ne coïncide pas avec une section principale, puisque son plan ne comprend pas la normale, à moins que la normale ne se trouve accidentellement perpendiculaire à Taxe de révolution.

L'autre ligne de courbure, sur une surface de révolution, est la courbe méridienne ; puisque les normales à la surface, menées par divers points de cette ligne, sont toutes comprises dans le plan méridien. En outre, la courbe méridienne est une section principale de la surface, puisque le plan de cette section comprend à la fois la normale et la tangente à l'une des lignes de courbure. Donc, pour une surface de révolution, Tune des sections principales coïncide avec une des lignes de courbure ; et il en est de même toutes les fois qu'une ligne de courbure se trouve plane, et que son plan comprend la normale à la surface. Ainsi, pour les surfaces cylindriques, les sections principales, dont l'une est la section droite, et l'autre la droite génératrice, se confondent respectivement avec les lignes de courbure.

286 . L'équation (i) devient identique, et l'on n'en peut plus tirer immédiatement une valeur de y' déterminée, quand on a les trois équations

dont la troisième est une conséquence des deux autres, et qui équivalent au système (f) ; en sorte que les points de la surface pour lesquels cette circonstance a lieu, ne sont autres que les ombilics.

L'équation (i) étant identiquement satisfaite, la normale au point (x> y, z) est rencontrée par la normale au point infiniment voisin, dans quelque direction que Ton prenne ce second point; mais de là il ne faut pas tirer la conclusion [182] que l'ombilic est un point où se croisent des lignes de courbure en nombre infini, ou que les droites menées par l'ombilic dans le plan tangent sont toutes tangentes à des lignes de courbure. Mettons, pour abréger, l'équation (t) sous la forme

<p, <J>, r. désignant des fonctions de x, y qui s'évanouissent quand le point (x, y, z) est un ombilic : la différentiation de l'équation (i) donne, pour déterminer y', l'équation du troisième degré

Selon que cette équation a ou n'a pas toutes ses racines réelles, il passe trois lignes de courbure par l'ombilic ou il n'en passe qu'une seule. Si cette équation est encore rendue identique par les valeurs de x, y qui conviennent à l'ombilic, on la différentie à son tour, ce qui donne une équation du quatrième degré en y' ; et selon que cette nouvelle équation a quatre ou deux racines réelles, ou n'a que des racines imaginaires, l'ombilic est le point d'intersection de quatre ou de deux lignes de courbure, ou bien il ne passe pas de ligne de courbure par l'ombilic, et ainsi de suite. Enfin, quand les valeurs de x7 y qui conviennent à l'ombilic, ren-

dent identiques l'équation (i) et toutes ses dérivées successives, l'ombilic est un point où se croisent des lignes de courbure dans toutes les directions. Ce cas se présente pour les sommets des surfaces de révolution, qui jouissent manifestement de la propriété caractéristique des ombilics (quand ils ne sont pas toutefois des points saillants), et où viennent se couper toutes les méridiennes qui sont des lignes de courbure de ces surfaces.

287. Faisons l'application de ce qui précède à l'ellipsoïde dont il a été question au n° 283 ; l'équation (i) devient

À*yy'f + (x«~ Ày1 — B) y' ,- xy = Oj (10)

et elle a pour dérivée

(2 Atfyy'+tf1 — Ày1— B)y"+À:ry" — Ayy'* + xy'— y=0.

équation qui se réduit à Ay'* + y' = 0> pour les valeurs y = 0,x s=r. + 1/% relatives aux ombilics. Cette dernière équation n'admet que la racine réelle y' = 0, A désignant un coefficient positif. Il ne passe donc qu'une ligne de courbure par les ombilics de l'ellipsoïde à trois axes inégaux, et cette ligne est la section qui comprend le plus grand et le plus petit axe.

Si l'on pose a = b, auquel cas l'ellipsoïde devient de révolution autour de son petit axe, pris pour celui des z, on a À = 1 , B = 0 ; et les coordonnées des ombilics sont x= 0, y = 0, parce qu'en effet ces ombilics se confondent avec les pôles de l'ellipsoïde aplati. L'équation (10) peut alors être mise sous la forme

(yy' + *)(*/ — y) = o, et elle se décompose en

yy' + ff^O, wy' — y=0.

Pour x = 0, y = 0, la valeur de y' donnée par la première équation est imaginaire [1 82], et celle que donne la seconde

équation reste affectée d'une indétermination réelle : comme cela doit être, puisque tous les méridiens qui se projettent en x y suivant des droites passant par l'origine des coordonnées, sont autant de lignes de courbure de l'ellipsoïde.

Quand on fait b = c, auquel cas l'ellipsoïde devient de révolution autour de son grand axe pris pour celui des x, on a A = 0, B = a*, et l'équation (10) se résout dans le

système

y' = oo, (s* — a}) y' — xy = 0.

Si l'on introduit dans la dérivée de l'équation précédente les valeurs des coordonnées des pôles ou des ombics, savoir x = + a, y = 0, on en tirera y ' = 0 : ainsi y1 n'est susceptible en ces points que des deux valeurs 0, oo. En effet, les méridiens se projettent en x y suivant des ellipses qui viennent toutes couper perpendiculairement l'axe des x, à l'exception du méridien dont la projection est l'axe même des#.

288. Lorsque la surface a des points singuliers pour lesquels r, s, t deviennent des fonctions de t/', comme on l'a plusieurs fois expliqué, l'équation (t) cesse d'être une équation algébrique du second degré par rapport à l'inconnue y, pour les points singuliers dont il s'agit, et elle peut avoir un nombre quelconque de racines réelles.

*289. Aux deux systèmes de lignes de courbure rectangulaires (st), (s,) correspondent [284] deux systèmes de sur^ faces développables (2t), (2,), et d'arêtes de rebroussement (<xt), (aÈ). Le lieu des arêtes de rebroussement du premier système est une certaine surface, et celui de rebroussement du second système est une autre surface ; ou plutôt les deux systèmes de surfaces développables, pris ensemble, ont pour lieu de leurs arêtes de rebroussement une surface à deux nappes (<7t, o*t), chaque nappe se rapportant à l'un des systèmes rectangulaires.

Pour obtenir en £, n, ç F équation de cette surface à deux nappes, qui est aussi le lieu des centres de courbure des sections principales de la surface (S), il faudrait éliminer x, t/, z entre les équations {h) (h") et celle de la surface (S).

Chaque rayon de courbure principale, touchant Tune des arêtes de rebroussement, touche la surface qui est le lieu de toutes ces arêtes : la surface des centres des courbures principales est donc, par rapport à la surface primitive, l'analogue de la développée d'une courbe plane par rapport à la courbe développante.

Les deux centres des courbures principales, pour un même point de la surface (S), se trouvant sur la même normale, il en résulte que chaque normale à la surface (S) touche chacune des deux nappes de la surface (<rt, o-t). Si Ton mène par cette normale deux plans tangents respectivement aux deux nappes, ces deux plans sont rectangulaires, en vertu de la propriété essentielle des lignes de courbure. Donc les deux nappes de la surface des centres de courbure ont entre elles de tels rapports de forme, que, regardées d'un point quelconque 0, leurs contours apparents se coupent à angles droits. En effet, les contours apparents des deux nappes de la surface (?ft, <ra) sont des lignes de contact de ces nappes et et des surfaces coniques circonscrites, ayant leurs sommets en 0. Or, ces deux surfaces coniques ont une génératrice commune, qui est la normale menée par le point 0 à la surface (S), et de plus leurs plans tangents suivant cette génératrice sont rectangulaires.

$ 3. Oscillation des surfaces. — * Définition et mesure de la courbure des

surfaces.