Deux surfaces

z = f{?,y), (*) * = fi{x>y>), A)

qui ont un point commun (#, j/, z) ont de plus en ce ]

un contact du premier ordre [203], quand les coordonnées x, y, z satisfont aux égalités

P*=Ph ?=?i, (H)

ou quand le plan tangent est le même pour les deux surfaces, au point qui leur est commun. Si les égalités

sont en outre satisfaites, il y a entre les deux surfaces un contact du second ordre ou une oscillation. En général le contact est dit du n6 ordre, quand toutes les dérivées partielles p, q7 r, etc., fournies par les équations des deux surfaces, jusqu'à celles de Tordre n inclusivement, prennent les mêmes valeurs pour un même système de valeurs des coordonnées #, y y z. quelle que soit celle des deux surfaces que Ton considère.

Si les surfaces n'éprouvent pas de solutions de continuité de Tordre n + 1 ou d'un ordre inférieur, et si Ax, Ay, As désignent des quantités très petites du premier ordre, la distance du point (x+Ax,t/+Ay,2+A2) situé sur Tune des surfaces, à l'autre surface, est en général une quantité très petite de Tordre n + 1 , quand le contact entre les deux surfaces est du »• ordre. Nous omettons la démonstration de ce théorème, que Ton suppléera sans peine, en comparant le n° 240 aux n°* 203 et suivants.

Dans l'intérêt des applications géométriques, il nous suffira de considérer les contacts des deux premiers ordres, ou le contact simple et Tosculation (4).

291 . Ayant mené le plan tangent à la surface (z) au point {x, y, z), coupons la surface par un plan parallèle au pre-

(') Sur les contacts des ordres supérieurs entre les surfaces, on pourra consulter un mémoire de M. Olivier, inséré dans le 25* cahier du Journal de V Ecole polytechnique, p. 423.

mier. Pour plus de simplicité, on peut placer l'origine au point de contact, et faire coïncider le plan xy avec le plan tangent. Soient Az l'ordonnée du plan sécant, et Ax, Ay les coordonnées en xy des points oîi il rencontre la surface : on a, en traitant Ax, Ay comme des quantités très petites du premier ordre, et en négligeant les quantités très petites du troisième ordre,

As » \ r *& + Bbx Ay +■ \ *Ayf. (43)

Faisons Ax=u£}ky=tnJ e désignant une quantité très petite du premier ordre : puisque Az est du second ordre, d'après l'équation (13), il faut poser Az=e*&, et alors cette équation donne

Donc, quand Az décroît indéfiniment, la courbe d'intersection approche indéfiniment d'être semblable à la courbe dont £, yj désigneraient les coordonnées courantes suivant les axes des x et des y, et qui aurait (k) pour équation. Ou bien encore la courbe d intersection approche indéfiniment d'être semblable à la section conique auxiliaire dont il a été question au n° 279, et dont les rayons vecteurs sont proportionnels aux racines carrées des rayons de courbure, pour les sections normales dont les plans coupent le plan tangent suivant ces rayons vecteurs.

A cause de cette circonstance, M. Charles Dupin a donné le nom d'indicatrice à la courbe que l'on conçoit résulter de l'intersection de la surface par un plan mené parallèlement au plan tangent, à une distance infiniment petite du point de contact. Cette indicatrice est une ellipse quand la surface tourne sa courbure du même côté tout autour du plan tangent ; dans le cas contraire, les deux hyperboles conjuguées qui remplacent l'ellipse, résultent de l'intersection de la sur-

face par deux plans infiniment voisins, tous deux parallèles au plan tangent , et entre lesquels celui-ci se trouverait compris.

L'ellipse indicatrice devient un cercle aux points ombilics : c'est pour cela que les plans tangents aux ombilics de l'ellipsoïde sont parallèles à. ceux qui ont la propriété de couper l'ellipsoïde suivant des cercles [283].

292. Quand la surface (zj a trois paramètres arbitraires, on en peut disposer pour satisfaire à la condition f(x, y) = £(#, y), et de plus aux équations (1 1), ou pour établir entre les deux surfaces (z), (zt), au point (x, t/, z), un simple contact. S'il entre dans l'équation (z^ six paramètres arbitraires, on en peut disposer pour satisfaire en outre aux équations (12), ou pour rendre les deux surfaces osculatrices Tune de l'autre.

Donc on ne peut pas, en général, déterminer une sphère qui soit osculatrice d une surface donnée en un point donné : car l'équation la plus générale de la sphère ne renferme que quatre paramètres arbitraires, savoir : le rayon et les trois coordonnés du centre.

Les conditions de l'oscillation des deux surfaces (z), (zt), sont exprimées analytiquement par le système des équations (11) et (12); mais il est préférable de les énoncer géométriquement en disant que les deux surfaces sont osculatrices l'une de l'autre, lorsqu'elles ont en un point commun, non-seulement le même plan tangent, mais encore des sections principales comprises dans les mêmes plans normaux, et les mêmes rayons de courbure principaux, respectivement dirigés dans le même sens par rapport au plan tangent. Il est visible, d'après tout ce qui a été établi dans ce chapitre, que l'existence de ces relations géométriques résulte des équations (11) et (12). Lorsqu'elles subsistent, un plan quelconque, passant par le point commun,

coupe les deux surfaces suivant deux lignes qui ont en ce point le même rayon de courbure.

Si donc la surface (z) a ses deux rayons de courbure principaux dirigés dans le même sens, on peut toujours construire un ellipsoïde de révolution qui oscule cette surface au point (a, y, z) : car on peut faire en sorte que Pune des sections méridiennes de l'ellipsoïde oscillateur tombe dans le plan de Tune des sections principales de la surface osculée, l'un des axes de l'ellipse méridienne coïncidant avec la normale : après quoi il n'y a plus qu'à assigner aux axes de l'ellipse méridienne des longueurs telles, que les rayons de courbure principaux soient les mêmes pour la surface osculée et pour l'ellipsoïde. Cette construction est propre à donner deux ellipsoïdes oscillateurs, l'un allongé, l'autre aplati.

Quand la surface a ses deux rayons de courbure principaux dirigés en sens inverses, on peut substituer à l'ellipsoïde oscillateur un hyperboloïde de révolution à une nappe dont le cercle de gorge [239] tombe dans le plan de l'une

des sections principales de la surface.

On peut décrire plus simplement encore une surface de révolution , osculatrice d'une surface donnée, en faisant tourner le cercle oscillateur de l'une des sections principales de la surface autour d'un axe tracé dans son plan perpendiculairement à la normale, et passant par le centre de courbure de l'autre section principale. La surface osculatrice devient un cylindre droit, à base circulaire, quand le rayon du cercle oscillateur de la première section principale devient infini, comme il arrive pour les surfaces développables [281].

* 203. Ceci va nous conduire à définir et à mesurer, d'après Gauss, la courbure (Tune surface, quantité qui n'est point définie ni à plus forte raison mesurée» tant qu'on se

borne à établir, d'après les théorèmes de Meusnier et d'Euler, les relations qui subsistent entre les courbures des lignes tracées sur la surface.

Revenons pour un instant sur la mesure de la courbure des lignes planes. Prenons sur la ligne dont on veut mesurer la courbure en m, un arc As qui passe par le point m ; menons les normales aux deux extrémités de cet arc; et après avoir placé dans le plan de la courbe un cercle dont le rayon soit égal à l'unité, menons les rayons respectivevement parallèles aux deux normales extrêmes, et qui comprennent un arc de cercle At : la limite ^ [193] vers la-

.At

quelle converge le rapport^, quand Tare As décroît indéfiniment sans cesser de comprendre le point m, est la mesure de la courbure de la ligne au point m.

Une construction parfaitement analogue est applicable aux surfaces. Imaginons [128] une courbe fermée, tracée arbitrairement sur la surface dont on veut mesurer la courbure en m, de manière que Taire &> circonscrite par cette courbe sur la surface comprenne le point m (f). D'un point quelconque de l'espace, comme centre, décrivons une surface sphérique qui ait l'unité pour rayon, et menons les rayons parallèles à toutes les droites élevées normalement à la surface sur le contour de l'aire « : le lieu de ces rayons est une surface conique qui intercepte à la surface de la sphère une aire 0. La limite vera laquelle converge le rap-

(r) Il faut entendre par Vaire d'une portion de surface courbe (comme nous l'expliquerons plus amplement dans le chapitre VI du cinquième livre) la limite dont s'approche indéfiniment l'aire d'une surface polyédrique, inscrite ou circonscrite & la portion de surface courbe que l'on considère, quand le nombre des faces du polyèdre augmente sans cesse et que les dimensions des faces décroissent indéfiniment. Cette définition de la grandeur w est analogue à la grandeur* [U 4],

port - quand Faire <u décroît indéfiniment sans cesser de

comprendre le point m, doit, suivant l'analogie, être prise pour la mesure de la courbure de la surface au . point m. Nous admettons d'abord, afin d'éviter toute difficulté, qu'il s'agit d'une surface dont les deux rayons de courbure principaux sont dirigés dans le même sens, et en outre que la surface n'éprouve pas au point m de solution de continuité. De même que, pour la mesure de la courbure d'une ligne plane, il est permis de substituer à la ligne donnée son cercle oscillateur ou toute autre courbe osculatrice ; de même, pour la mesure de la courbure d'une surface, il est permis de substituer à la surface proposée une autre surface qui l'oscule, au point où il s'agit de mesurer la courbure.

Prenons, pour la surface osculatrice, celle que décrit le cercle de rayon R,, en tournant autour d'une droite menée dans son plan perpendiculairement à la normale, par le centre du cercle de rayon Rt. Soit<fet l'angle infiniment petit que le plan du cercle mobile, dans chacune de ses positions extrêmes, forme avec le plan de la section normale sur lequel il était primitivement couché, l'excursion du plan mobile ayant la même amplitude de part et d'autre du plan de la section normale ; soit dst l'angle infiniment petit que forment avec la normale et de part et d'autre de cette droite, dans le plan du cercle oscillateur de rayon R„ deux rayons de ce cercle : l'aire &>, devenue infiniment petite, se confond avec celle d'un rectangle infiniment petit dont les côtés seraient 2 Rtrfs, , 2 Rtdst , et qui aurait pour surface 4 RJt^cfc,. D'autre part , l'aire correspondante 0 prend pour valeur (en négligeant toujours les infiniment petits des ordres supérieurs) 4 dstdst : d'oïi

Itm. - = . il)

La courbure d'une surface a donc pour mesure le produit des courbures de ses deux sections principales.

L'aire 0 est remplacée par un point quand Taire &>, finie ou infiniment petite, est prise sur une surface plane ; elle est remplacée par une portion de circonférence de grand cercle quand Taire &>, finie ou infiniment petite, appartient à une surface cylindrique. Cette remarque lève la difficulté qui naîtrait de ce que, d'après la formule (/), une surface développable pour laquelle [281 et 292] un des rayons Rt, R, est constamment infini , aurait en tous ses points une courbure nulle, propriété qui semble ne pouvoir appartenir qu'au plan. Le plan, les surfaces développables et les autres surfaces ne sont pas plus comparables, quant à la courbure, qu'un point, une ligne et une aire, quant à la grandeur. On peut dire que la courbure d'une surface développable est un infiniment petit du premier ordre, et celle d'un plan un infiniment petit du second ordre : ce qui signifie que la courbure d'une surface est une quantité très petite du premier ou du second ordre , quand la surface se confond sensiblement avec un cylindre ou avec un plan.

L'expression de la courbure d'une surface prend le signe positif ou le signe négatif, selon que les deux rayons de courbure principaux sont dirigés dans le même sens ou en sens contraires. Ce changement de signe est arbitraire , et ne comporte pas une interprétation naturelle comme celui qui affecte la courbure d'une ligne quand le sens de la courbure change effectivement- Mais cette circonstance, loin de donner lieu à une objection fondée, ne fait que confirmer l'analogie qu'il s'agit d'établir. On sait, en effet, que les règles pour l'interprétation des signes, applicables aux coordonnées mesurées à partir d'une origine fixe, et à leurs différentielles , cessent de s'appliquer, ou ne s'appliquent qu'en vertu de conventions arbitraires, aux aires mesurées

par les produits qui admettent pour facteurs ces coordonnées ou leurs éléments différentiels.

Mademoiselle Sophie Germain, dans ses recherches sur les surfaces élastiques, et surtout dans un mémoire (') qui est la dernière production de cette femme remarquable, s'est efforcée d'établir que la courbure d'une surface a pour

mesure la fonction vr +0- : mais ses raisonnements n'ont

rien de convaincant. Tout récemment, la même idée a été reprise par un jeune professeur, M. Renard, dans une thèse soutenue devant la Faculté des sciences de Paris , et que nous ne connaissons que par extrait. Ce n'est que par analogie que Ton peut passer, de la définition de la courbure des lignes, admise sans contestation, à la définition de la courbure des surfaces ; et, même en géométrie, l'analogie se montre plutôt qu'elle ne se démontre. La meilleure définition de la courbure des surfaces sera celle qui permettra de relier, par un énoncé plus simple, un plus grand nombre de propriétés des surfaces.

(■) Journal de Mathématiques, de M. Crelle, t. VII, p. 1 .