THEORIE DES POINTS SINGULIERS DANS LES COURBES PLANES, PAR M. BRIOT

4 . La théorie des points singuliers, que nous allons exposer, et dont l'idée première est due à M. Sturm, n'est autre chose qu'une méthode générale pour la construction exacte et complète des courbes planes.

Considérons une équation algébrique et ramenée à la forme entière

entre les deux variables * et y. La série des points du plan, dont les coordonnées vérifient l'équation, peut être envisagée comme étant la représentation géométrique des solutions réelles de l'équation.

Soit M l'un de ces points, * et y ses coordonnées ; cherchtns quels sont les points voisins du point M qui satisfont à l'équation proposée. Désignons par * •+• h, y + k, les coordonnées d'un point voisin, h et k étant des quantités infiniment petites. Si l'on développe le polynôme f{x + h, y + k) suivant les puissances croissantes de h et de Jfc, l'équation deviendra

(8) r..A+f,.*+r^~+rv**+rv.^+ = <>•

2. Nous allons d'abord examiner le cas général, celui où les deux dérivées partielles fx et fy ne sont pas nulles simultanément au point M.

Menons deux parallèles à l'axe des y, à la distance infiniment petite h, de part et d'autre du point M, et cherchons quels sont sur ces deux parallèles, les points qui vérifient l'équation {fy, 4, pi. V). Pour simplifier, posons

j = u = tang co, — Y = w0 = tang a,

l'équation (î) prend la forme (3) (tf-tO + PA + Q^-f = 0.

Comme h est une quantité infiniment petite, l'équation ne pourra être satisfaite que par des valeurs de u peu différentes de t*o, c'est-à-dire par des valeurs de *> peu différentes de «. Par le point M. menons la droite A' A, qui fait avec l'axe de x l'angle a ; il est clair que les points cherchés doivent se trouver dans le voisinage des points A et A' où cette droite coupe les deux parallèles. Si l'on donne à » une valeur qui diffère de « d'une quantité supérieure ou égale à l'an-

gle y très petit, mais déterminé, on pourra trouver une quantité très petite e, telle que, pour toute valeur de h inférieure ou égale à e, le premier terme u— u, du polynôme (3) ait une valeur numérique plus grande que la somme de tous les autres termes, et par conséquent donne son signe au polynôme. Considérons la dérivée

du polynôme par rapport à u; le premier terme étant constant, on pourra déterminer une quantité très petite e', telle que, pour les valeurs de » comprises entre «— T et a+r, toute valeur de h inférieure ou égale à e rende ce premier terme plus grand numériquement que la somme de tous le% autres. Appelons « la plus petite des quantités e et e', et supposons que h soit inférieure ou égale à e. Traçons les deux, droites B' B et G' C, qui font avec A' A de part et d'autre l'angle y.

Le polynôme (3) ayant sur les deux parallèles une valeur positive en tous les points situés au-dessus du point C, ou au-dessous du point G'} négative en tous les points situés au-dessous du point B, ou au-dessus du point B', ces quatre portions de droite ne renferment aucune solution de l'équation. Si Ton imagine qu'un point mobile parcoure la portion de droite B C, le polynôme, ayant en B une valeur négative, en G une valeur positive, et variant d'une manière continue, s'annullera dans l'intervalle ; d'ailleurs, il ne s'annulera qu'une fois puisque la dérivée ne s'annule pas dans cet intervalle. Ainsi, la portion BG comprend une solution de l'équation et une seule. Il en est de même de la portion B' G'. Concevons maintenant que h décroisse de « à 0, chaque valeur de h donnera, dans chacun des deux angles opposés, BMC, BMC', un point particulier, et la série de ces points formera évidemment une courbe continue passant en M.

Comme l'angle îy peut être pris aussi petit qu'on voudra, il est visible que la droite A' A, qui a pour coefficient angulaire

tanga = — £,

est tangente à la courbe au point M.

On a supposé dans ce qui précède que la dérivée partielle f, n'est pas nulle ; si elle était nulle sans que f, le fût, on permuterait dans le raisonnement h et k; on mènerait deux parallèles à l'axe des s à la distance k du point M, et l'on arriverait à la même conclusion, seulement la tangente serait parallèle à l'axe des y.

Il résulte de là que, lorsque les coordonnées d'un point qui satisfont à lèquation proposée n'annullent pas à la fois les deux dérivées partielles du premier membre, en ce point passe une branche de courbe simple*

3. U est aisé de trouver la forme de la courbe dans le voisinage du point M. Si Ton fait u = uv le polynôme (3) se réduit à

(*) W + QP+

On peut trouver une quantité e" telle que, pour toute valeur de h inférieure ou égale à e", le premier terme du polynôme (4), qui ne s'annule pas, donne son signe

au polynôme. Appelons e' la plus petite des deux quantités « et e" et supposons h moindre que s'. Si le premier terme qui ne s'annule pas dans le polynôme (4) est de rang impair, comme ce terme change de signe avec h, le polynôme aura des signes contraires en A et en A', par exemple, le signe — en A, et le signe + en A'; les deux points de la courbe seront situés, l'un m entre A et G, l'autre m* entre A' et fi", dans ce cas la courbe est convexe (fig. I) et tourne sa concavité vers les y positives. Si la série avait le signe + en A et le signe — en A', la courbe serait encore convexe, mais elle tournerait sa concavité vers les y négatives.

Ainsi, lorsque la quantité

p - r* + V"*, «0 + rr »,a r, r* - *r* r, r« + r% rv p°~ W, W,

n'est pas nulle, la courbe est convexe au point M, et le signe de Pe indique le sens de la concavité.

Si le premier terme qui ne s'annule pas dans le polynôme (4) est de rang pair, le premier terme ne changeant pas de signe avec h, la série a le même signe, par exemple le signe + en A et en A' ; les deux points de la courbe sont situés, l'un m entre A et B, l'autre m' entre A' et B'; la courbe passe d un côté à l'autre de la tangente, il y a inflexion (fig. S). Ainsi, quand P0 est nulle sans que Q0 le soit, il y a inflexion.

4. Nous avons démontré que lorsque les deux -dérivées partielles du premier ordre ne sont pas nulles simultanément au point M, en ce point passe une branche de courbe simple, avec ou sans inflexion. Il en résulte que si Ton ne range pas Tinflexion parmi les singularités des courbes, les points singuliers ne peuvent se trouver que parmi ceux dont les coordonnées annulent à la fois les deux dérivées partielles du premier membre de l'équation.

5. Supposons maintenant que les deux dérivées du premier ordre soient nulles simultanément, l'équation (î) se réduit à

(rv- £+ /v**+ /v. ?) + = °«

ou

(5) (Tv + * fv« + rr-*) + s* + u% + = °-

Considérons l'équation du second degré

4W Cas. r*n— f V.f V < 0. Le premier terme du polynôme ayant constamment une valeur finie et de môme signe, l'équation ne peut être vérifiée. Le point M est un point isolé.

t« Cas. p*m, — f"x* /V > 0 . L'équation (6) a deux racines réelles tang a et tang P, a < P; le premier terme, et par suite le polynôme (5), changent de signe quand «varie de « — y à « + y, et de p — y à p+ Y; il n'y a d'ailleurs qu'une seule solution dans chacun de ces intervalles, parce que la dérivée par rapport à «

ne s'annulle dans aucun d'eux ; il en résulte deux branches simples tangentes respectivement aux droites qui font avec l'axe des x l'angle a ou l'angle p. Le point M est un point multiple.

3* Cas. f"**9 — /V /V = 0. L'équation (6) a ses deux racines égales 1 tt, » tang a, et l'équation (5) se met sous la forme

(t) (w — *,)■ + PA + QA»+ =0.

Si la valeur de P pour «=», n'est pas nulle, on peut donner à h une valeur assez petite pour que le second terme soit plus grand que la somma de tous les suivants, et par conséquent donne son signe à l'expression PA + Q A*+ .... pour les valeurs de «voisines de «. Supposons PD <V, le polynôme a le signe — en À, le signe + en B et en C {fig. 3) ; il y a donc une solution m dans le premier intervalle, et une n dans le second. D'ailleurs il n'y en a qu'une dans chacun d'eux, parce que la dérivée seconde relative au

ne s'annulle pas de B à C. Sur la parallèle de gauche, le polynôme étant la somme de deux quantités positives, ne peut s'annuler; cette parallèle ne renferme donc aucune solution, et l'on a un rebroussement de première espèce.

Lorsque P. = o, le signe du polynôme en A et en A' est le même que celui de Q0 A*, de sorte que si Q0 est négative, chacun des quatre intervalles AB, AC. A'B», A'C\ comprend une solution, ce qui donne deux branches de courbe tangentes à la même droite A'A et situées de part et d'autre de la tangente. Mais si Q. est positive, il y a incertitude, l'un des deux intervalles AB ou AC peut contenir deux solutions, et de même l'un des deux intervalles A'B' ou A'C.

6. Pour lever cette ambiguïté, on posera u=uê + »' k\ ce qui réduira l'équation (7) à la suivante

(8) (t*« + P>' + QJ + SA + =0.

que Ton traitera comme l'équation (7).

Si P'o1 — 4 Q0 <^o, cette équation est impossible, le poiut M est isolé. Lorsque PV — 4 Q.> o, Téquation u'.* 4- P.' u' + Q. = o admet deux racines inégales u\ et u't ; si ces deux racines sont de même signa , la courbe se compose de deux branches convexes situées du même côté delà tangente commune ; si elles sont de signes contraires, ces deux branches sont situées de part et d'autre de la tangente; dans ces deux cas, le point M est un point multiple. Lorsque P0'* —4 Q. =«, si S0 est différent de zéro, l'équation (8) admet pour l'une des parallèles deux solu-

lions voisines de ut', ce qui donne pour u deux valeurs voisines de «f + u0' h, il y a au point M un rebroussement de seconde espèce (fig. 4). Si S, =o, et qu'il y ait ambiguïté, on poserait u' =<*'. + u" h et on continuerait de cette manière jusqu'à ce que l'on eût déterminé exactement la forme de la courbe. La discussion précédente, qui porte spécialement sur les termes du second degré, (ait bien comprendre l'esprit de la méthode. Nous allons maintenant l'exposer d'une manière générale.