L'équation (2) est de la forme
(9) ïAA«fcP=0,
les exposants « et p étant entiers. Regardons h comme un infiniment petit du premier ordre, et désignons par n Tordre de l'infiniment petit k. Considérons le groupe des termes du degré ie moins élevé; ce premier groupe doit contenir au moins deux termes tels que
A*« JfeP, A. À«. kK
Ces deux termes étant de même degré, on a
a + p |t zz a. + P. |a, d'où
U en résulte que le degré de * par rapport à h est commensurable.
8. Voici comment on parvient à former le premier groupe : dans un plan, traçons deux axes rectangulaires o z et o y {fig. 5), et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants « et P dans les différents ternies, a étant l'abscisse, p l'ordonnée. A chaque terme correspond un point du plan. Comme le polynôme doit contenir au moins un terme indépendant de h et un indépendant de k9 sans quoi il serait divisible par h ou par k, il y aura au moins un point sur l'axe des y et un sur l'axe des x. Nous remarquons d'abord qu'à des termes de même degré correspondent des points placés en ligne droite ; et, en effet, la valeur de t* trouvée précédemment montre que la droite qui joint les points correspondant à deux ternies de même degré a une direction constante ; cette droite fait avec l'axe des y négatives un angle dont la tangente est égale à t&. Si, par un point quelconque (*>i Pt), on mène une droite parallèle à cette direction constante, cette droite ayant pour équation
* — ai== — [L(y — pf),
son abscisse à l'origine a, + p. pt est précisément égale au degré du terme correspondant Il en résulte que les droites parallèles sur lesquelles sont placés les points qui correspondent aux divers groupes de termes s'éloignent de l'origine à
mesure que le degré de ces termes augmente; par conséquent, la ligne qui
passe par les points du premier groupe laisse à sa droite tous les autres points.
9. Que Ton imagine une droite coïncidant d'abord avec Taxe o y et qu'on la fasse tourner autour du premier point situé sur cet axe de droite à gauche, c'est-à-dire en augmentant son abscisse à l'origine, jusqu'à ce qu'elle rencontre un second point; qu'on la fesse tourner ensuite autour de ce second point dans le même sens jusqu'à ce qu'elle en rencontre un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que la droite passe par le premier point situé sur l'axe o x, on formera ainsi une ligne brisée convexe dont chaque côté passe par plusieurs points et laisse tous les autres à sa droite. Chacun des côtés de cette ligne convexe donnera une manière d'établir le premier groupe.
40. Considérons l'un de ces modes de groupement en particulier et soit -
la valeur correspondante de t*, £ étant une fraction irréductible. Deux termes A h* $, Aâ h** fcp'
du premier groupe étant du même degré, on aura
!? = «, + pâï,
« + pî-zza, + p.1,
OU
aq + Pp = a,q + P.P,
f«t-a)ç=(p — Pi)j>.
La différence «â — a des exposants de h est un multiple de p, la différence p — P, des exposants de k un multiple de q ; on aura donc
<xt — « == np, p — pâ = nq,
n étant un nombre entier. Le premier groupe, ordonné par rapport aux puissances croissantes de A, ou par rapport aux puissances décroissantes de k, s'écrira donc
A4* k? + Bfra+*' tf-** + Ch*+eP tf-c* + + GAa+*P * P-*>,
bt c. . . ., g étant des nombres entiers croissants.
4 1 . Nous allons, pour continuer la transformation, distinguer deux cas principaux, selon que le nombre q est pair ou impair. Considérons d'abord le cas où q est impair.
Si l'on pose
h = h\ k = vhv,
h' étant une nouvelle quantité infiniment petite de même signe que k , t* une quantité finie, le premier groupe devient
h'"i+?r u P-sp [Af*ff? + Btt^-*)*. .... + GJ.
Tous les termes de Féquation contenant le facteur fr'^+fr, on peut diviser par ce facteur, et ramener Féquation à la forme (40) «P-»' [Àtiw + Bt*(r-** -I- + G] + etc. = 0.
Le premier groupe devant avoir une valeur infiniment petite pour se réduire avec les suivants, la valeur finie de u différera très peu de Tune des racines de l'équation (44) An* + Bttfc-** + + G = 0.
Si Ton pose
cette équation se réduit au degré g et devient
(4î) ktfl + Bt*-' + G = 0.
42. Il faut étudier séparément chacune des racines réelles de cette équation . Soit v, une racine simple de Féquation (42); Féquation (44) admet la racine
simple u. = vjy et Fon démontrera, comme précédemment que, quelque soit le signe de h\ Féquation (40) admet une racine voisine de tt„ et une seule, d'où résulte une valeur de k sensiblement égale u\h>. A cette racine simple correspond une branche de courbe passant au point M et s'étendant à droite et & gauche de ce point.
La forme de la courbe varie suivant que p est pair ou impair, plus grand ou plus petit que q.
4* p impair. Quand on change le signe de h ou de h' , k change lui-même de signe; il en résulte une branche à inflexion, tangente à une parallèle à Faxe des
x, si ^ > 4 (fig . 6), à une parallèle à Faxe des y, si j? < 4 {fig. 7).
Le cas particulier où p = q = 4 rentre dans le précédent. Mais la tangente a une direction oblique et il n'y a plus nécessairement inflexion {fig. 4 et 2).
2© p pair. Quand K change de signe, k conserve le même signe. Si - > 4 ,
la courbe a la forme convexe ordinaire et est tangente à une parallèle à Faxe
des x (fig. 8) ; si *■ <^ 4 , elle forme un rehaussement de première espèce,
dont la tangente est parallèle à Faxe des y, {fig. 9). 4 3. Etudions maintenant le cas où q est un nombre pair. On posera
h = ± h\ k « uh>, 1* = v, h' étant une quantité infiniment petite, positive ou négative, u une quantité finie que Fon pourra toujours supposer positive, à cause du double signe de h' ou de A>, puisque p est impair. On affectera la quantité hq du signe + ou du signe — , selon que Fon cherchera les points situés sur la parallèle de droite ou sur celle de gauche. Si Fon considère la parallèle de droite, il faudra prendre h zzzh'i; la transformation est la même que celle que nous avons effectuée précédemment, et Ton arrive aux mômes équations (40), (44), (4Î).
Si l'on considère lt parallèle de gauche, il faudra prendre h =— A«,les équations (4 0), (4 4)9 (4 1) sont remplacées par les suivantes
(40)' aP-"[Àu" + (— 4)'Berff-')f + (-4)* G] + etc. -=•,
(44)' An" + (— 4)* BtiCf-*îi + (4y G - 0,
(4î)' A* + (—4)* Bit-* +(— 4)fC«0.
Nous remarquons d'abord que les équations (4 1) et (4 S)' ont leurs racines égales et de signes contraires. Les valeurs positives de v sont seules admissibles, les valeurs négatives donnant pour u des valeurs imaginaires. Soit donc v0 une racine simple positive de l'une de ces deux équations, par exemple, de l'équation (41).
L'équation (4 4) admet la racine réelle et positive *•«•!>♦*; si, dans l'équation (4 0), on donne successivement à h' une valeur positive et une valeur négative, on voit que cette équation admet deux racines réelles voisines de «*; il en résulte pour k deux valeurs de signes contraires voisines de ujh'r. A cette racine simple tr. correspond ainsi une double branche de courbe, située d'un même côté du point M, & droite dans l'hypothèse actuelle ; elle forme une brandie
convexe ordinaire, tangente à une parallèle à Taxe y, sijj< 4 (fig. 40), un
rehaussement de première espèce tangent & une parallèle & Taxe des x, si
Considérons maintenant une racine négative de l'équation (4 S); A cette racine négative ne correspond aucun point sur la parallèle de droite ; mais cette racine devient positive dans l'équation (42)' et elle fournit l'une des courbes trouvées précédemment, mais tournée en sens contraire, c'est-à-dire vers la gauche.
44. Nous avons supposé jusqu'à présent que l'équation (4 S) n'admet que des racines simples réelles. Chacune d'eues donne une branche simple passant par le point M et pouvant offrir une inflexion ou un rebroussement de première espèce. Considérons actuellement une racine réelle v. d'un degré n de multiplicité. Le premier membre de l'équation (41) ou (4 S)' est divisible par (•— *.)\ le premier membre de l'équation (4 4) ou (4 4)' par («—«.)*. Si l'on pose
*' étant une quantité infiniment petite, et que Ton remplace u par cette valeur, l'équation (I 0) ou (4 0)f aura tous ses termes infiniment petits et prendra la forme
(43) ia,a' **'«0.
On traitera cette équation comme on a traité l'équation (9). Marquant dans un plan les points qui ont peur coordonnées les exposants de h' et de k , on examinera les différentes manières de former le groupe des termes du degré le moins élevé. Chacun de ces modes conduira à une équation analogue à l'équation (41), après qu'on aura posé *' = ± *v, *• = «'A">\ «v =•. Les racines simples de cette nouvelle équation n'offiriront aucune difficulté. A une racine simple cor-
respônd une vateur 4e k% delà forme •*>'>' et par suite une valeur 4e k sensiblement égale à (s + «'• *"') *''•
Si q et f ' sont impairs, V et h" ont le signe de h, et Ton a une branebe de courbe qui s'étend à droite et à gauche du point M, et qui reproduit Tune des formes représentées par les figures 6, 7, .8, 9.
Si q est pair, q' impair, il faut choisir le signe de h, ce qui indique que la courbe ne s'étend que d'un côté, h' conserve le double signe, h" a le même signe que h' ; on a donc pour fc, sur une même parallèle, deux valeurs de signes contraires, ce qui reproduit Tune des deux formes représentées par les fig. 40 et 44.
Si q est impair, q' pair, A' a le signe de h, et h" un double signe ; mais dans la nouvelle équation, il faudra choisir le signe de A', ce qui indique que la courbe ne s'étend que d'un seul côté ; h" conservant le double signe et p' étant impair, on a pour A, sur une même parallèle, deux valeurs de même signe, ce qui donne nn rebroussement de seconde espèce, dont la tangente est parallèle à Taxe
des x ou à Taxe des y, selon que C est plus grand ou plus petit que l'unité
( fig. 4 1 et 4 3) .Cependant, dans le cas où/? ~g=4 ,1e rebroussement est de première espèce, la tangente ayant une direction oblique (fig. 3).
Enfin si q et q' sont pairs, il faut d'abord choisir le signe de h , puis celui de h\ h" conservant le double signe. On a encore un rebroussement de seconde es" pèce(/ty.4*et43).
Quand l'équation en v' a des racines multiples réelles, on pose «' *=u\ + k" et l'on opère une nouvelle transformation analogue aux précédentes, et ainsi de suite jusqu'à ce que Fon arrive Ht une équation n'ayant plus de racine multiple.
45. Il est aisé de voir que la suite de ces transformations ne peut se prolonger à l'infini, et qu'elle doit nécessairement se terminer après un nombre limité d'opérations. Si l'on désigne en effet par m le degré de l'équation proposée, le plus fort exposant de k et de u dans les équations (9) et (4 0) étant au plus m, il est évident que le degré de l'équation (4 2) ne peut surpasser - ; le degré n de la racine
m multiple vê ne peut donc surpasser- . Quand dans l'équation (40) on remplace u
par u$ + *', le premier groupe fournit un terme en k'm indépendant de h' ; l'exposant de V dans le premier groupe de la nouvelle équation sera donc au plus égal
i n ; le degré de l'équation en «' ne pourra donc surpasser -ou --*. En continuant
ainsi, on voit qu'après un certain nombre d'opérations le degré de l'équation à
laquelle on arrive, ne pouvant surpasser -îp?, sera nécessairement du premier
degré.
Le raisonnement serait en défaut si Ton avait q=ql= q" ; niais, dans
ce cas, comme *= A1— h"*=* , le degré de V ne va pas en augmentant;
comme d'ailleurs, i chaque opération, on divise par une certaine puissance do k
il est évident que ce degré va en diminuant; on arrivera donc à une équation du premier degré en h, dans laquelle le premier groupe sera nécessairement formé de ce terme en h, et du premier terme indépendant de h; on aura ainsi à résoudre une équation binôme en u. et par suite une équation de premier degré en v.
4 6°I1 résulte de ce qui précède, que les courbes algébriques n'admettent ni points d'arrêts, ni points saillants. La méthode ramène , en effet , la construction de la courbe à la considération des racines simples réelles de diverses équations; or, nous avons tu que, dans tous les cas, une racine simple donne deux branches ajant même tangente, et situées de part et d'autre ou d'un même côté de la tangente ou de la normale ; elles forment donc, ou une courbe ordinaire convexe ou à inflexion, ou un rebroussement de première ou de seconde espèce.
Il est à remarquer qu'une fois arrivé à une racine simple, ce qui suffit pour la construction de la courbe , si Ton continuait les transformations on n'aurait plus à considérer que des équations du premier degré en u ; il n'y aurait plus de subdivisions dans le calcul ; les exposants seraient tous entiers, et l'on obtiendrait le développement de * en série, suivant les puissances croissantes de h.
47» La même méthode sert i déterminer avec exactitude les branches infimes de la courbe et leurs asymptotes ; elle donne toutes les asymptotes paraboliques de la forme
y « aac» 4- ox»' + e,
les exposants de x étant entiers ou fractionnaires, mais positifs.
Dans l'équation proposée, considérons x et y comme des quantités infiniment grandes. Marquons dans un plan les points qui ont pour coordonnées les exposants de x et de y dans chaque terme, et désignons par [* le degré de y par rapport à x; le premier groupe, c'est-à -dire le groupe des termes du degré le plus élevé, devant contenir au moins deux termes, on démontrera, comme précédemment, que p est comraensurable, que les points correspondants aux termes de même degré sont en ligne droite, et que la droite qui passe par les points correspondants aux termes du premier groupe laisse tous les autres points au-dessous et i sa gauche. D'après cela, pour former le premier groupe, on imaginera une droite se mouvant parallèlement à l'axe des x et venant des y positifs jusqu'à ce qu'elle rencontre un premier point, puis, tournant autour de ce point, de gauche à droite, jusqu'à ce qu'elle en rencontre un second, tournant ensuite autour de ce second point dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle en rencontre un troisième, et ainsi de suite jusqu'àce que la droite devienne parallèle à Taxe des y. Chacun des cotés de cette ligne brisée donnera une manière d'établir le premier groupe.
Si - désigne la valeur correspondante de p, on posera x = x> oux = dfc x\
suivant que q est impair ou pair, y = u x> ; si l'on divise par la plus haute puis-
sance de x' , l'équation sera ordonnée suivant les puissances croissantes de * ;
égalant le premier groupe à zéro, on aura à résoudre une équation en u que Ton simplifiera en posant u* = v. Soit u0 une racine de cette équation; on posera
u = u$ + hj - = h, et Ton arrivera à une équation de la forme
S Ah* lfi « 0
entre les deux quantités infiniment petites h et k. On traitera cette équation parla méthode suivie pour les points singuliers, et l'on poussera les calculs jusqu'à ce que Ton arrive, dans le développement de A, suivant les puissances croissantes de h, à un exposant plus grand que p , ou plus loin encore si la séparation des racines l'exige ; la valeur correspondante de y se trouvera ainsi développée suivant les puissances décroissantes de x, et le dernier terme ou les derniers termes étant affectés d'exposants négatifs. En négligeantes derniers termes, on aura l'asymptote parabolique ; les derniers termes indiqueront le nombre et la disposition des branches de courbe qui correspondent à une même asymptote.
Lorsque - r=4 , -, étant égal ou supérieur à l'unitéj'asymptote devient rectiligne.
Nons remarquons qu'à une même asymptote correspondent toujours deux branches de courbe situées d'un même côté ou de côtés différents par rapport à l'asymptote, vers une même extrémité ou vers deux extrémités différentes.
48. Nous avons borné cette étude aux courbes algébriques. Nous ferons observer, toutefois, que la même méthode peut être étendue aux courbes transcendantes, lorsque le premier membre de l'équation de la courbe est une fonction monodrême et monogène des deux variables x et y, dans le voisinage des valeurs de ces variables au point considéré; car dans ce cas f(x -\- k, y+k) se développe en série ctnvergente suivant les puissances entières croissantes de h et de & (Voyez l'addition mise à la fin du second volume) ; en suivant la marche indiquée, on parviendra à distinguer et à séparer les racines de cette équation, comme si elle se composait d'un nombre limité de termes.
