Supposons qu'on ait identiquement

/j? = f X + pX + <wX -f" ©te,

on aura aussi, quelles que soient les abscisses xt et x,

fX\ fx 9Xt — ?X . "bX, — itX (ûXt — o:X

1 L- = LJ +LJ î^ + î + ete#;

et par conséquent, en faisant converger la différence xt — x vers zéro, et prenant les limites de tous les rapports,

fx sz?rx + t// #•+-»' a?+etc.

Donc la dérivée d'une somme (algébrique) de fonctions est la somme (algébrique) de leurs fonctions dérivées.

La dérivée du produit de deux fonctions est la somme des produits qu'on obtient en multipliant chacune des fonctions par la dérivée de l'autre. Soit, en effet ,

fx=z yx . -p x; on aura identiquement

fXt.$Xt — fX. $X = (fXt — fX) ypX + (-pXt —-fX)fX

+ (?^l-^)(^i — +*), d'où

fxt —fx m?Xi—iX lxA — yX = . ]x H ,

Si l'on fait maintenant converger xi — x vers zéro et qu'on passe aux limites, il viendra

fx= f'x . }x + -y x.^x'y (b)

car, dans l'hypothèse où <px et tyx n'éprouvent pas de solution de continuité du premier ou du second ordre, le fao

fX

teur tyxl — tyx converge vers zéro en même temps que xx — x, et le facteur

convergeant vers la limite finie <p'x, le terme

a pour limite zéro.

On peut mettre l'équation (b) sous la forme plus symétrique

fx Jx yx

I X <fX \X

et il est aisé d'en conclure que si l'on avait

fx = fX . $X . toX ,

la dérivée ff serait donnée par la formule

fx Jx , ù'x *fx