etc

fx yx y x nx

Inversement, si nous posons

fx = , OU (fX = fx . $x,

$x on tirera de la règle précédente

ï'x fx, Vx

y X fx yf/X

et par suite, en remettant pour fx sa valeur,

La constante a peut être regardée comme une fonction dont la dérivée est nulle : si donc on pose successivement

y=a+fx,y=za.?x,y=z?Z,

on aura, en vertu des règles précédemment démontrées ,

y' = *%y'~a.?fx,y =

Toutes les fonctions qui ne diffèrent que par l'addition d'une constante arbitraire a ont donc la même dérivée, principe fondamental et déjà établi [31]. 40. Supposons que l'on ait à la fois

y=fx,x = ?t,

et que

soit l'expression de y en fonction immédiate de t, telle qu'on la tirerait de l'élimination de x entre les deux premières équations, si l'élimination était possible. Désignons part/,, xl9 tt ; y, x, t deux systèmes de valeurs correspondantes pour ces trois variables : on aura évidemment , en vertu de la correspondance admise,

foi — fo fx\ — - fx y, ?*i — y* tx — t xx — x tx — t

et. en passant aux limites,

Cette équation exprime le principe fondamental de la dérivation des fonctions médiates, ou des fonctions de fonctions. On le généralisera sans difficulté ; et, par exemple, si Ton

pose

y = fx, x= ?u9u — to t, de manière que

soit l'expression de y en fonction immédiate de t, telle qu'on la déduirait de l'élimination des fonctions intermédiaires x et u, on trouvera, en opérant comme ci-dessus ,

41 . Réciproquement , on peut considérer les variables x et y comme déterminées immédiatement en fonction d'une troisième variable * par les équations

x iz tf , y = ^t, de manière que

soit l'équation qui se déduit des précédentes par l'élimination de t. On a d'abord , d'après ce qui vient d'être démontré,

Désignons, comme à l'ordinaire, par yr la dérivée / '#, et soit, pour plus de commodité,

l't ? t on aura entre les variables x% t/', tn les trois équations

d'où Ton tire, en appliquant toujours la règle de la dérivation des fonctions médiates ,

r —tli Mais, d'après la formule (c), on a

ht- — m — ;

donc

fX—l i - L-; (rf)

et en continuant ainsi, on exprimerait, les dérivées de tous les ordres de la fonction f au moyen des dérivées des fonctions (f et ty.

Considérons plus particulièrement le cas où Ton aurait tytmmtj et par suite

f'4=<,ft = 0,etc.:

l'élimination de t s'opérera immédiatement, et l'on aura à la fois

x=z?y,y=zfx;

e'està dire que 9 désignera la fonction inverse de f, ou celle que Ton obtiendrait en résolvant par rapport à x l'équation y — fx. Pour exprimer les dérivées de la fonction f au moyen des dérivées de la fonction inverse <p, il suffira donc de remplacer dans les formules précédentes t par t/, puis défaire tyy = 1 , +" y — 0, etc., au moyen de quoi il viendra

La première .des formules (e) aurait pu se tirer directement d'une considération bien simple. En effet, puisque, d'après l'hypothèse, les deux équations y /#,#■= <pt/ sont identiques et représentent la même courbe, f 'x et <f'y expriment respectivement, dans un système de coordonnées rectangulaires, les tangentes^ trigonométriques des angles que la tangente à cette courbe au point (x,y) fonhe avec les axes des x et des y; et ces deux angles étant complémentaires, ona/"x. <p'j/— 1.

Notions sur la théorie des fluxions.

42. On a vu [30] que la fonction dérivée y'=fx mesure la rapidité avec laquelle varie, relativement àar, la fonction primitive y=fx; et nous avons expliqué ce qu'il faut entendre par cette rapidité relative. Mais si la variable t désigne le temps compté d'une origine quelconque, et si les grandeurs x, y sont considérées comme variant avec le temps, en vertu des équations

x=<?t,y = tt, 1. 5

les dérivées y% tyt mesureront la rapidité des variations de x et de y, non plus dans un sens relatif, mais dans un sens absolu : car le temps ainsi compté est la variable essentiellement indépendante qui, par sa nature, varie ou s'écoule toujours uniformément. En rapportant ainsi la variation des grandeurs à l'écoulement du temps, Newton donne le nom de fluentes aux grandeurs a:, y,.... qui sont censées varier

avec le temps, et le nom de fluxions aux dérivées tf't, ty't,

qui varient ellesrmèmes en général avec le temps, et qui mesurent en chaque instant les vitesses de variation des quantités fluentes. Sa notation consiste à marquer d'un point la quantité fluente pour indiquer la fluxion correspondante. Ainsi #, y désignent les fluxions de #, y ou les dérivées <p't, y t. De même x, y;x,y correspondent à <p"f , ty"t ; <f"'t, ty"t; et désignent des fluxions de fluxions, ou des fluxions du second, du troisième ordre, et ainsi de suite.

On peut, avec Newton, prendre pour type des quantités fluentes la distance x d'un point fixe 0 (fig. 27) à un point m en mouvement sur la droite indéfinie OX. La fluxion x sera la vitesse même du point mobile, pour l'instant que Ton considère : le mot de vitesse étant pris ici dans son acception primitive, qui est aussi la plus usitée. Mais on pourrait choisir tout autre exemple sans nuire à la clarté des idées. Ainsi, quand un corps échauffé se refroidit, on conçoit que la température de sa surface est une grandeur qui varie avec le temps, et qui, en général, ne doit pas varier uniformément , de manière que des pertes égales de température aient lieu dans des temps égaux. On se fait de la vitesse variable du refroidissement une idée aussi directe et aussi claire que de la vitesse variable d'un point mobile.

La conception de Newton s'étend d'ailleurs à des grandeurs quelconques, en ce sens que l'on peut toujours définir et exprimer, au moyen des fluxions , les fonctions que