CHAPITRE IV

NOTIONS SUR LES DIFFÉRENCES ET SUR LES APPROXIMATIONS DES DIVERS ORDRES. — THÉORIE DES INFINIMENT PETITS ET PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

43. Imaginons deux grandeurs variables #, y, dont Tune soit fonction de l'autre, et qui passent par deux série sde valeurs correspondantes

Xj «£j , X\, X9, X±)

ytyi>y»yi«y*

Prenons la différence de chaque terme à celui qui le suit dans la série où il se trouve, et désignons par A# la différence xx — x, la lettre A étant employée comme caractéristique , et non comme signe de quantité : nous formerons deux autres séries de valeurs

Ay»*yi, tyuWz,

qui se correspondront encore. Opérons sur celles-ci comme sur les séries primitives, c'est-à-dire, prenons la différence de chaque terme au terme consécutif ; et d'après l'analogie désignons par A.A#, ou par £*xt la différence Azj — A# : nous obtiendrons deux nouvelles séries

•>k X) 4J X^m Uk M* g 9 •••••••

^y.A1»!, Afyt,

dans lesquelles les termes AV, A*y, exprimeront

des différences de différences, ou des différences du second

ordre , par rapport aux termes x, y qui leur correspondent

dans les séries primitives. On formerait de même les séries

des différences du troisième, du quatrième ordre, et ainsi de

suite. *

En conséquence de ces notations on aura identiquement

Xt = X + A#,

X, :=: Xt + A#j = X + AS + A(tf + A#) = X + 2 AX + A*X,

a?8 = xt + à#i = x + î Aa? + Af# + A (x + 2 A# + A*a;) =5 ar + 3 A* + 3 Afx + A8#,

et par une induction évidente (que l'on confirmerait d'ailleurs sans difficulté, en employant, comme pour la formule du binôme, le tour de démonstration de proche en proche)

n , n(n— 4) m n(n — 4)(n — 2) , , x% — x + - as + -j ^ a*x + \ . g . 3 *'*+ ••+*'*•

On aura de même

n nln — 4) . n(n— 4)(n— 2) , ,

y.=y+T *y + TTTly+i~ 2T3 *y+-'"+A"y'

Ces dernières formules peuvent s'écrire symboliquement

*„ = (1+a)% yn = (4 +A)"y,

pourvu qu'on se rappelle que de telles équations n'ont de sens qu'après le développement des seconds membres, la lettre A étant un indice d'opération, et non un signe de quantité. V * analogie entre les puissances et les différences quiressort de ces équations symboliques, et dont on verra beaucoup d'autres exemples, provient évidemment de ce que la formule du binôme s'obtient d'après des règles d'analyse combinatoire tout à fait indépendantes de la nature des opérations de calcul que chaque combinaison représente, ou de l'idée accessoire de multiplication qui vient s'associer, dans les éléments d'algèbre, à l'idée abstraite de combinaison. v

44. Si la quantité x remplit naturellement ou par convention le rôle de variable indépendante, on est porté à s'occuper plus spécialement du cas où l'on ferait croître cette