CHAPITRE PREMIER
58. Nous avons passé en revue, dans les deux chapitres précédents, les principes généraux de la dérivation ou de la différentiation, principes applicables à des fonctions quelconques et indépendants des procédés particuliers par lesquels on parviendra, suivant les cas, à découvrir les valeurs des dérivées ou des différentielles d'une fonction proposée. Ces principes subsistent, soit qu'on ne puisse assigner numériquement les valeurs des dérivées ou des coefficients 'différentiels que par approximation [44], et séparément pour chaque valeur de la variable indépendante, comme c'est le cas à l'égard des fonctions empiriques, qui ne sont données que par une table , soit qu'on puisse comprendre dans une formule mathématique les valeurs exactes des coefficients différentiels pou? des valeurs quelconques de la variable indépendante, comme nous allons voir que cela à lieu à l'égard des fonctions algébriques et des transcendantes qui nous sont connues.
En vertu des principes généraux que Ton vient de rappeler [55 et mit?.], le problème de la différentiation des t. i. 7
fonctions algébriques, logarithmiques, exponentielles et trigon orné triques, est ramené à la différentiation des trois fonctions élémentaires suivantes :
1° y = x", en supposant à l'exposant m une valeur quelconque.
2° y = log x, ce qui donnera la différentielle de la fonction inverse x = a' (a désignant la base des logarithmes), ou, par une permutation de lettres , la différentielle de la fonction exponentielle y = a0.
3° y = sin x , d'où l'on déduit les différentielles des autres fonctions trigonométriques, et des arcs qui en sont les fonctions inverses.
Quand on saura différentier ces fonctions élémentaires, la règle pour la différentiation des fonctions médiates donnera les différentielles des fonctions complexes quelconques, susceptibles de s'exprimer explicitement par les signes usités en algèbre et en trigonométrie.
59. Occupons-nous d'abord de la fonction xm. En premier lieu, si l'exposant m est un nombre entier positif, l'équation (6) du n° )55 donnera, après qu'on y aurait fait u = v = tv = x.
d.aT
dx
or
ou
d.x" = mar-t dx. (a)
Si m est égal à une fraction positive £, p et q désignant
des nombres entiers positifs, on posera x9— z, d'c^ af = 2% et en différentiant d'après la formule (a)
px'~x dxz^qtf'1 dz.
On tire de là
\p p p dz = d.x~q=z- x} ldx, en sorte que la formule (a) est démontrée pour toutes les
valeurs positives et commensurables de m. Supposons que m ait une valeur négative et égale à — n, n désignant un nombre positif commensurable : on aura, en faisant u = x* dans l'équation (1 1) du n° 55,
\ d.xr d.ar = d. — = — = — nxr—ldx=imxr-ldx,
xr xu
au moyen de quoi la formule (a) se trouvera' démontrée
pour toutes les valeurs commensurables de l'exposant m,
tant positives que négatives.
On est fondé à en conclure qu'elle subsiste aussi pour les
valeurs incommensurables de m. En effet, admettons qu'on
ait, dans le cas de l'incommensurabilité de m,
d.xr
— — =:»î£~ l + fX, dx
et soit m' un nombre commensurable, qui pourra différer de m d'aussi peu qu'on voudra. Désignons en outre par xi9 xê deux valeurs de x séparées par im intervalle iini, et choisies de manière que la fonction <j> # ne change pas de signe dans l'intervalle, ce qui est toujours possible : on aura
x~ - x9m = / mx"-l.dx+ I fX.dx
xtm — xQm' = f m'xT'-1 dx;
d'où
xtm — x~' — (xêm —x9m') ~ Jmxm-J.dx — f ' m'x"-l.rf*
+ / ' *xdx.
Mais la différence m — m' convergeant indéfiniment vers zéro, les quantités
X J — X\ y XO ~~ Xq y
f ' mxm- ' . dx — J ' m'xr'- l.dx= f ' (m*—1 — m'xm -1) dx
convergeront aussi indéfiniment vers zéro : donc il faut que que l'intégrale définie.
fcX,
qui ne dépend pas de m', s'évanouisse d'elle-même ; et comme les limites de l'intégrale ont été choisies de manière que <f x ne change pas de signes entre ces limites, il faut que la fonction <p x soit nulle, pour chaque valeur de x. On doit remarquer deux valeurs particulières de m qui se présentent fréquemment dans les applications, les valeurs
Jet — £: ona
dx • h dx
