La formule (a) donnant pour y=xm

-2 = ma—', dx

on en tirera par une seconde différentiation

et en général

Si l'exposant m est un nombre entier positif, le coefficient différentiel de Tordre m se réduira au nombre constant ro(m - 4)(m-2) 3.2.4;

par conséquent le coefficient différentiel de l'ordre m + 1 et ceux des ordres supérieurs seront nuls. Cette propriété, qui appartient au monôme xm7 quand m est un nombre entier positif, appartient aussi à toute fonction algébrique entière et rationnelle de x, puisqu'on peut toujours développer une fonction de cette nature en une suite finie de monômes

kxr + Bx" + Caf + etc.,

m,n, p, étant des nombres entiers positifs. Si m désigne le plus haut exposant, il est clair, d'après ce qui précède, que le coefficient différentiel de Tordre m de la fonction dont il s'agit se réduira au nombre constant

Aro(m — <)(m — fc) 3.» .< ,

et que les coefficients différentiels des ordres supérieurs s'évanouiront.

61. Pour trouver la différentielle de la fonction transcendante

y=log*,

nous emploierons directement la considération des limites. Ona

Ax Ax Ax X Ax

Le rapport— converge indéfiniment vers zéro en même temps que Aa, tant que x n'est pas nul : de sorte que, pour avoir ^ , il ne s'agit que d'assigner la limite vers laquelle converge

et par conséquent la limite vers laquelle converge le nombre

(« + 0«, (E) quand le nombre e converge indéfiniment vers zéro.

Or, on pourra toujours satisfaire à la condition de faire converger indéfiniment vers zéro le nombre e, en posant

et en prenant pour n un nombre entier positif de plus en

plus grand. La formule du binôme donnera

ou bien

0+D'-+î+rîO>rr.(-DO-D+~

+rr^-;0-D0-D Q~)+

Tous les termes de cette suite, à partir du second, vont évidemment en décroissant de valeur : nous disons de plus qu'on peut toujours prendre v assez grand pour que, si Ton arrête la suite au terme

.tt^O-SO-D 0-^> «

la somme des termes négligés tombe au-dessous de toute grandeur donnée, si grand que soit n.

En effet, cette somme est plus petite que

et à fortiori plus petite que

quand n augmente indéfiniment, elle est moindre que las somme de la série

Ï + 5P + -" etc"

WFFÉRENT1ATI0N DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 103

prolongée à l'infini, laquelle est égale à

et tombe au dessous de toute grandeur donnée, pour une valeur convenable de v.

Après avoir arrêté la suite (n) au terme (v), si nous prenons pour n un nombre de plus en plus grand, la valeur de cette suite convergera indéfiniment vers celle de la suite

Donc la limite vers laquelle converge le nombre (E), pour des valeurs de e de plus en plus petites, sera donnée par cette dernière suite avec une approximation d'autant plus grande que l'on aura pris pour v un nombre plus grand et qu'elle comprendra plus de termes. Donc, si Ton désigne par e, selon l'usage généralement reçu, la limite dont il s'agit, il

viendra

e = 4 +H 1 h ; h etc., (e)

le second membre de l'équation étant une série prolongée h l'infini, et convergente en vertu de la règle du n° 26. D'ailleurs la série

— + — — A h etc.,

a tous ses termes plus petits que ceux de même rang dans la

série

-+-+-+ etc., 2 ~ 2* 2»

qui est convergente et a pour somme l'unité. Donc la valeur

de e est comprise entre 2 et 3.