En prenant la somme des 14 premiers termes de la

série (e), on trouve

104 LIVRE H. —CHAPITRE f.

Si Ton n'avait calculé que les neuf premiers chiffres de la partie décimale de e, le retour accidentel de quatre chiffres dans le même ordre aurait pu porter à croire que le nombre e s'exprime par une fraction décimale périodique, et conséquemment qu'il a une valeur commensurable. Mais cette induction serait trompeuse : et, en effet, supposons que e

puisse être égale à la fraction commensurable e, en sorte qu'on ait

v Z^ 4 *^ 1.2.3^ ^M.3...vTY«.3...v(v-H)^

P, v désignant des nombres entiers, on en conclura, en multipliant tous les termes parle produit continu 1. 2. 3... v,

\ .3.3.. ..(v— *) fi— [2« .3.1,.. .v-f 3.4....v+4.5....v+ +0

=7fi + (v-H)(v+2) + (v+4)(v42)(v+3)+ etC'

La somme de la série qui forme le second membre de l'équation précédente devrait donc être un nombre entier r positif ou négatif, tandis qu'elle est positive et moindre que

- qui est la somme de la série

etc.

On démontre aussi, mais moins simplement, que toutes les puissances du nombre e, à exposants rationnels, sont irrationnelles, en sorte que e ne peut être la racine d'une équation algébrique binôme, à coefficients rationnels.

On entend par nombres transcendants ceux qui ne peuvent être les racines d'une équation algébrique quelconque, à coefficients rationnels. Il y a tout lieu de croire que le nombre e, comme le tt avec lequel nous verrons qu'il a une étroite affinité, sont des nombres transcendants, bien que

ce caractère négatif n'ait encore été rigoureusement établi

ni pour l'un ni pour l'autre nombre.