L'équation

e= lim. (4 +«)«

n'a été démontrée que sous la condition d'assujettir le nombre c à converger vers zéro, en passant par une série de valeurs positives de la forme - ; car la formule du binôme, sur

laquelle nous nous sommes appuyé, quoique subsistant pour des valeurs quelconques de l'exposant n, comme la suite le fera voir, n'est ordinairement démontrée dans les éléments que pour des valeurs entières et positives de n. Afin de s'affranchir de la première restriction j on peut poser

ht4 n

Quand e diminue indéfiniment, n augmente indéfiniment ;

la quantité (1 + e) • , étant comprise entre deux quantités qui tendent vers la même limite e, tend vers cette même limite. Supposons maintenant la quantité « négative. On posera i

de manière que t7 s'évanouisse en même temps que e. et qu'à des valeurs négatives de e correspondent des valeurs positives de e'. Il en résultera

et par conséquent

/m. (4 + 1) « = ftm (4 + •') «; = e,

en sorte que la limite sera la même, quel que soit le signe dee.