Puisque l'équation

y = log. x, qui équivaut à

donne . dx\M *

dy— — log. *,

réciproquement on aura

dx = xdy.- ,

log.e

ou

rf.a"— .a* dy,

log. e

ou bien enfin en remplaçant y par x, d'après l'usage où Ton

est de désigner par x la variable indépendante,

d. 0*=, a? dx.

log.e

On a d'ailleurs

, loge

log<T

les logarithmes qui entrent dans le second membre de cette équation étant pris dans un système quelconque, par exemple, dans le système vulgaire, ce qui donne

s loSa ^j

d a. =1-s-.a*rfx,

loge et par suite

d.er=fdx, ou bien encore

Ainsi le coefficient différentiel du premier ordre de k fonction y = e*, et par suite ses coefficients différentiels ou ses fonctions dérivées de tous les ordres sont identiques avec la fonction primitive. Cette propriété caractéristique et extrêmement remarquable nous donne à l'avance la raison, du rôle important de la fonction exponentielle e% et du. nombre e lui-même dans la théorie des fonctions.

Posons, pour abréger,

il viendra

ou, suivant la notation de Newton [42].

et Ton sait de plus que, pour #=o, la fluente y est égale à 1 .

Si donc on imagine deux points £, n (fig. 28), dont le premier se meuve sur la droite OX avec une vitesse ou une fluxion constante, et dont l'autre se meuve sur la droite O'Y avec une vitesse proportionnelle à sa distance au point fixe 0', de manière à se trouver en A, à l'unité de distance du point 0', quant le point £ est en 0 ; si enfin Ton admet que la vitesse constante du point £ est prise pour unité, et que la vitesse variable du point m est égale à V quand il passe par le point A, les distances variables 0 £, O'm représenteront à chaque instant les valeurs variables x, y ; ou, en d'autres termes, la fluente 0£ sera, dans le système de logarithmes dont la base est a, le logarithme du nombre représenté par la fluente (Y*.

Quand on prend la vitesse V égale à l'unité ou à la vitesse constante du point £, ce qui est la supposition la plus naturelle ou la moins arbitraire que Ton puisse faire, 0£ est le logarithme naturel ou népérien de 0'yi.

C'est précisément de cette manière que Neper a conçu les logarithmes ; et il doit passer pour le précurseur de Newton dans l'invention de la théorie des fluxions, de même que Kepler et Cavalieri peuvent être considérés comme les précurseurs de Leibnitz dans la théorie des quantités infinitésimales.

Il est très digne de remarque que, contrairement à la marche ordinaire des inventeurs, Neper ait défini immédiatement la fonction logarithmique par son caractère essen-

tiel et éminent, au lieu de partir de ses propriétés secondaires par lesquelles on définit encore les logarithmes dans les éléments, et qui sont la base de leurs applications vulgaires.

66. La différentielle de la fonction logarithmique nous a donné celle de la fonction exponentielle : il est bon de remarquer qu'elle donnerait aussi, delà manière la plus simple, celle de la fonction *■% l'exposant m ayant une valeur réelle quelconque, positive ou négative, commensurable ou incommensurable. En effet, de

= ar,

on tire

.logy =

= m log *,

et en différentiant

dy

dx

zzm — ;

donc

dy =

m?dx =

mxm'ldx-

Mais alors la démonstration de cette dernière formule suppose celle de la formule du binôme, au moins dans le cas d'un exposant positif entier : celle que nous avons donnée en premier lieu n'est pas soumise à la même condition, et peut servir au contraire à établir la formule du binôme, comme la suite le montrera.

Réciproquement, la formule (a) étant démontrée, on en déduit la dérivée de la fonction logarithmique. Désignons en effet par yx la fonction log x et ^x sa dérivée inconnue : on aura

y (Xm) ■=. m yX,

et en différentiant conformément à la règle de différentiation des fonctions médiates,

d.xm

ou bien, en vertu de l'équation (a),

xm / (sr) = x f x , Cette dernière équation ne peut subsister, pour des valeurs quelconques de x et de m, qu'autant que xy'x se réduit à une constante dont on obtient la valeur en faisant ro=o dans le premier membre. Si donc on désigne par k cette constante égale à <p' (1), il viendra

k kdx

?'# = -, ou rf. loga? = — , x x

ce qui peut servir à retrouver tous les résultats précédemment obtenus.