Passons maintenant aux fonctions trigonométriques
et posons d'abord
y = sin x ;
nous aurons, en employant encore directement pour cette
fonction transcendante la considération des limites,
Ay sin [x -+- àx) — sin œ sin \ A#
~ = — - — < = — .cos (x + i Aa? .
Le facteur cos (x -f- \ Ax) a pour limite cos x. lorsque A
converge vers zéro ; quant au facteur
sin \ a#
il a pour limite l'unité. En effet, de l'identité
sin e
=z= cos s,
tang t
il suit que le rapport du sinus à la tangente a l'unité pour limite, quand l'arc converge vers zéro : d'ailleurs, en vertu d'un principe de géométrie bien connu, la longueur d'un arc est toujours comprise entre celle du sinus et celle de' la tangente ; donc, à fortiori, le rapport
sin e
a l'unité pour limite.
112 Livre ii. — chapitre i.
Donc
dy
dx ou
rf.sinx — cos x.dx. (6)
On trouverait directement, par un calcul tout à fait semblable,
rf.cos x = — sin x dx. (c)
Dailleurs, si Ton pose.
cos x = sin z, d'où
Z=Jtr— X,
il viendra
rf.cos x = rf. sin z = coszrfx; N
et comme
dx = — rfa?, cos z = sin rp,
on retombe par cette voie sur l'équation (c).
Les différentielles du sinus et du cosinus nous donnent celles des autres fonctions trigonométriques. Ainsi l'on aura
,A , /sinaA cosxd.sinx — smx.dcosx
a tang. x=d. \ 1 =
\cos xl cos* x
(cos* a? + sin* a?) rfa? rfa?
cos1 x cos* «'
et par des calculs analogues,
rf.cota? =
rf.séca? =
sm1 x sin a? rfa?
rf. coséca? =
cos1 x y cos x dx
sin1^ La fonction y = sin # ayant pour différentielle
rfy = cos X dx 5=: 1/ I — y * . rfff ,
on aura inversement
OU
ou bien, «n changeant y en rr, afin de désigner toujours par
x la variable indépendante,
dx rf.are sin x= — ===== .
On trouverait de la même manière
dx
rf.arccosar = —
d.arc tangx = rf.arccota?=—
dx
1 + xf' dx
Pour l'interprétation de toutes ces formules, il faut concevoir que, le rayon du cercle étant pris pour unité, les sinus et cosinus sont des fractions positives ou négatives dont la valeur numérique est comprise entre zéro et 1 . Quant aux arcs, ce sont des nombres nécessairement rapportés à la même unité métrique que les sinus, cosinus, tangentes, etc., sans quoi il n'y aurait point d'homogénéité dans les formules, et la relation d'où nous sommes parti,
sin t lim. = 4,
n'aurait aucun sens. Il faudra donc que les arcs soient mesurés, non point par le nombre de degrés qu'ils contiennent, mais par les rapports de leurs longueurs à celle du rayon prise pour unité. Si un arc était exprimé en degrés sexagésimaux par le nombre X°, on aurait le nombre x qui doit être substitué dans les formules, par la proportion
où 7: désigne, comme à l'ordinaire, la longueur de là demicirconférence dont le rayon est l'unité.
Si Ton prend pour unité angulaire la seconde sexagésimale, comme cela se pratique dans les calculs de précision, et si l'arc est exprimé en secondes par le nombre X*, le nombre x se déterminera par la proportion
On a souvent besoin de connaître la valeur en degrés de l'arc pour lequel x = 1, ou dont la longueur est égale à celle du rayon du cercle. Cette valeur est 57° 47'44"8t = 208264", 81.
On tire des équations (6) et (c) :
rf'.cosx
— — — = — sin x, — — — = — cos x; dx* dx*
ainsi, les deux fonctions y = sin x, y = cos x jouissent d'une propriété commune et fort remarquable, exprimée par l'équation
rf»y
dx*~~~y'
De là on conclut immédiatement
d^.sina: . . rf*!.cosx
— — — = àz sm x, — — — = ± cos x,
tf*+I.3in# , d*+lcosx r > '
■ = ± cos x. = 3z sm x.
dx"+l ' dx*l+l -f-aiu^
les signes supérieurs ou inférieurs devant être choisis selon que le nombre entière est pair ou impair.
68. Les exemples suivants suffiront pour indiquer la marche à suivre dans la différentiation des fonctions complexes.
DffFÉRENTUTION DES FONCTIONS ALGÉBRIQDES. H5
Soit proposé de différentier ;
On fera
d'où «*-+*=«,
etenfin y=M"' = é»=«rt*>*=~>r*é*, dy e mm (axT + *)— » a--1 tf*.
2° y = log. sin ar.
On posera
d'où *k*:s=u*
\ , du
y = Hu,dyz=z--,duz=cosxdz, et finalement
- dx
~ tang#'
30 y — iogU + »/< + *»}.
On emploiera deux variables intermédiaires
«eqin donnera T '
> du dv
"y^—ydu^dx + - . dv=z*zdx
u ' 2\/v — *xax,
et après toutes réductions,
J dx
dy =
posera
Ga™ Va>»~2rr'eos* + r"
w =rf — îrr' cos x -*- r*,
et par suite
dy = rr' sin xdx
(rf — ïrr' cos a: + r'f)l
