CHAPITRE IL
COMPARAISON DES TRANSCENDANTES LOGARITHMIQUES, EXPONEN- TIELLES ET CIRCULAIRES,— FORMULE DE MOIVRE, ET NOTIONS SUR LA THÉORIE DES SECTIONS ANGULAIRES.
$ 4". Comparaison des transcendantes logarithmiques, exponentielles et
circulaires.
69. Dans le chapitre qui précède , on a donné les règles pour la différentiation des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires , qui sont les seules fonctions transcendantes que Ton considère par les parties élémentaires des mathématiques ; mais ce sujet demande à être étudié plus à fond et sous des rapports divers , parce qu'il sert de fondement aux calculs de l'analyse supérieure.
Nous avons vu que Neper était parti d'une relation équivalente à l'équation différentielle.
pour définir la fonction exponentielle
ou la fonction logarithmique qui en est l'inverse,
xz=logy.
En effet, celte équation différentielle, jointe à la condition que x s'évanouisse pour j/=l, caractérise essentiellement l'une et l'autre fonction transcendante, en fixant la loi très simple d'après laquelle ces fonctions varient sans discontinuité. Les définitions élémentaires qu'on donne des logarithmes en arithmétique et en algèbre, n'en sont que
des conséquences, et n'expriment, par comparaison que des propriétés secondaires de la fonction logarithmique. Il est facile 4e se rendre compte, d'après la forme de l'équation (a) , du rôle que doit jouer la fonction exponentielle dans l'expression d'une foule de phénomènes naturels, et notamment de ceux qui pourraient se classer sous la dénomination générique de phénomènes d'absorption ou d'extinction graduelle. Que Ton se représente un corps mû dans un milieu résistant qui lui enlève sans cesse une partie de sa vitesse. La résistance du milieu, ou l'absorption de vitesse dans un instant infiniment petit, dépend évidemment de la vitesse du corps : elle croit avec cette vitesse, s'évanouit quand la vitesse est nulle, reste très petite quand la vitesse est très petite, et, par conséquent [S], pour de très petites valeurs de la vitesse, est sensiblement proportionnelle à la vitesse du corps en chaque instant. On a donc une équation de la forme
dy
y désignant la vitesse supposée très petite, t le temps et k un certain coefficient constant. Or, cette équation se change en
ax
quand on pose x= — kl ; et si l'on prend pour unité la valeur
de y au moment où l'on a f—o, ou as—or il résultera de
cette dernière équation
l , y = e* = e-», ou t = — - log y.
Un raisonnement semblable s'appliquerait à l'extinction progressive de la lumière et de la chaleur dans des milieux absorbants, aux déperditions de chaleur, et d'électricité par le
rayonnement des surfaces ou par le contact d'un milieu ambiant et à tous les phénomènes analogues.
70. Suivant la notation des intégrales définies que nous avons fait connaître [51], on peut écrire
\VV=f%
ou
« /** dx
hgx—J —.
yj \ X
La fonction logarithmique n'est donc qu'une intégrale définie, et nous l'avons qualifiée de transcendante, non*&u~ lement parce qu'on n'a pas pu jusqu'ici l'exprimer algébriment, mais parce qu'en effet, comme on le démontrera plus tard, elle ne comporte pas d'expression algébrique, explicite ou implicite. Cette considération doit nous mener dans la suite à regarder les intégrales définies comme constituant de nouvelles fonctions transcendantes, toutes les fois qu'elles ne peuvent pas s'exprimer algébriquement, ou par d'autres transcendantes déjà définies.
Le nombre transcendant e est la valeur qu'il faut assigner & la limite supérieure de l'intégrale, pour que la valeur de cette intégrale soit égale à l'unité ; ou, si l'on veut, c'est une constante déterminée implicitement par l'équation transcendante
71. Supposons que l'on cherche une fonction <p,r, telle qu'on ait, pour toutes les valeurs de x et de z,
ffX + ?z = f(xz). {b)
En faisant dans cette équation 2=0, on en tirera
en sorte que, si cp (0) avait une valeur finie quelconque, <p j
serait nulle pour toutes les valeurs de x. Donc 1a fonction cherchée éprouve une solution de continuité pour v=o, Faisons dans la même équation s~l , nous aurons
f* + ? (*) =? (*)> ou ? (<l = o. (*t> On peut différentier l'équation (6) par rapport à a? et par rapport à s, en y considérant successivement œ et z comme variables, ce qui donnera, d'après les règles déjà exposées,
f' x =z z f' (xz), f' z = x y' (aw), et par conséquent
Xf' i=z Zt?' z.
Donc la fonction <p est telle que le produit x yx ne dépend
pas de #, et qu'on a
k désignant une constante quelconque, ou
dyx k
dx xy
et puisque la fonction <fx doit se réduire à zéro pour x=l,
en conclut de cette dernière équation
s*xdx ?x = k I — = A;logx.
Effectivement, l'équation (b) exprime la propriété qui sert de base à l'usage vulgaire des logarithmes ; et nous aurions pu, comme on vient de le voir, partir de cette équation, ou de la propriété qu'elle exprime, pour trouver la différentielle de la fonction logarithmique.
72. Soit une autre fonction <J> caractérisée par l'équation ^x.tyz = i (x -*-z), (c) d'où Ton tire, en faisant z=o,
Si Ton différentie l'équation (c) par rapport à x et par rapport à z, il viendra
t'x-tz = f {x -h z), +x4'z ■= f {x + z),
et par suite
}X yffZ '
Ainsi, Ton doit avoir
yL'X fyX
a désignant une constante quelconque que nous supposerons d'abord réelle. Or, nous savons par ce qui précède que la fonction de x qui satisfait à cette équation différentielle et à la condition <J» (0)=1 , est
|ar = e~; et, en effet, l'équation (c) n'est que la traduction de la règle fondamentale du calcul des exposants; en sorte que nous aurions pu partir de cette équation pour trouver directement la différentielle de la fonction exponentielle.
Supposons maintenant que la constante a soit imaginaire, ou de la forme a+/3(/Z3T: la fonction ^ x sera elle-même [1 7] une quantité imaginaire de la forme fx •+■ tx i/^TT
En effet, l'équation
d.tx = (a+p\/~^j)txdx [d) peut être remplacée par
a 4x = (a + p V ^7) $xbx, avec une approximation d'autant plus grande que Ton prend pour Ax une fraction plus petite. Ainsi, à cause de <J> (0)=1 , si Ton prend, par exemple, Aa5=0,001 , cette valeur de Aar étant regardée comme une quantité très petite du premier ordre [44 et 45], on aura, en négligeant les quantités très petites du second ordre ,
* (0,001) = f + 0,00f (« + p V'=rTj>
+ (0,002)= [4 + 0,00* (a 4- p l/^iyP,
et toutes ces valeurs de la fonction <f> sont réductibles à la forme
Comme l'erreur commise par la substitution d'une différence finie Sx à la différentielle dx peut être indéfiniment atténuée, il s'ensuit, non-seulement qu'il existe effectivement une fonction
$x=fx + to V^T, jouissant de la propriété de satisfaire aux équations (c) et (c.), et par suite à l'équation (cf), mais encore que les fonctions réelles fx9 îx, qui entrent dans la composition de + x, peuvent être calculées numériquement , pour une valeur quelconque assignée à x, avec une approximation indéfinie. A cause de l'équation (c0), on a
/|0) = M(0) = 0, (e) et il vient, en vertu de l'équation (c),
(/H-fcl/^T)(/fc u tzV~\)=f(x + z) + t(x + z)\/=T, d'où l'on conclut
fx.f*—tx.h-f(x + *),) fx.îz-rtx.fz=i {*+*;,( W
formules dont les conséquences seront développées tout à l'heure.
Puisque l'équation (c) n'est que la traduction de la règle algébrique pour le calcul des exposants, il s'ensuit que nous pouvons désigner par e", même* lorsque la constante a est imaginaire , la fonction $ x qui jouit de la propriété de satisfaire aux équations (c) et (c0) : car, bien que l'on ne poisse pas élever un nombre à une puissance imaginaire, et qu'ainsi l'expression e", quand ax est imaginaire, n'indique pas une opération arithmétique possible, exactement ou par approximation, cependant lorsqu'on appliquera les règles du calcul algébrique à une telle expression, on se confor-
122 LTVRE II. — CHAPITRE D.
mera à la nature de la fonction ^ qu'elle représente, et l'on arrivera nécessairement à un résultat exact. 73. La fonction transcendante
y zz: sin x
ayant la propriété de satisfaire à l'équation différentielle
dy = cos x dx, (g)
dy = 1/4— y\dx, (/)
•on peut faire abstraction de la signification géométrique air tachée à la fonction y, et la caractériser par la double condition d'être nulle en même temps que a? et de croître avec continuité suivant une loi exprimée par l'équation {g'). On peut aussi envisager la fonction inverse comme une intégrale définie, et écrire
S*n dy
arc sin y = i — == ,
ou en changeant de lettre
s** dx j vT=x*'
en sorte que le nombre transcendant rc sera déterminé par l'équation
arc sm x :
/>* dx
Les équations (g) et (g') coïncident pour les valeurs de y comprise entre — 1 et + 1, ou pour les valeurs de x comprises entre — ■; n et + \ ir ; mais quand x vient à dépasser £ rc, il faut, d'après ce que la trigonométrie nous enseigne sur le changement de signe du cosinus, remplacer l'équation (g') par
dy = — y=ïy*.dw. (/)
En effet , il est impossible que l'équation (g') subsiste
COMPARAISON DBS TRANSCENDANTES. 123
pour des valeurs réelles de y, après que la variable x, réputée indépendante et dont par conséquent rien ne gène l'accroissement continu, vient à dépasser la valeur pour laquelle y = 1 : car alors l'accroissement dx étant positif, et le radical v^h— y* étant pris positivement, dy serait positif, d'où il résulterait que y dépasse la valeur 1 , et qu'ainsi le radical 1/4— y* devient imaginaire ; ce qui ne peut arriver sans que dy et par suite y prennent des valeurs imaginaires.
74. Mais, pour démontrer directement que Ton doit passer de l'équation (g1) à l'équation (</"), sans rien emprunter à la trigonométrie, ni dans cette démonstration, ni dans la définition de la fonction j/, considérons deux fonctions îx, fx, déterminées simultanément par le système des deux équation différentielles
d.îx = fx dx, (i) d.fx — — îxdx, (j)
jointes aux conditions
f(0) = 0, /•(<>)=:♦. (lo) On tirera de ces équations
txdJx + fxd.fx = 0 ou
\d.[{ïxy ■+• (/&)»] = 0; et de là on conclut
(tx)* + <fxy=zc,
C désignant un nombre quelconque, indépendant de x. Mais les équations (i0) donnent
donc
(te)' + (fx)* = <. (i)
Cela posé, tant que f x passe d'une manière continue, pour des valeurs croissantes de x , de la valeur 0 à la valeur \ ,
d. f x est positif ainsi que d x : donc fx est positif en vertu de l'équation (i), et Ton a
Désignons par £ tt la valeur de x pour laquelle on a f x = 1 , et par suite /x = 0. En vertu de l'équation (j), d. fa? est négatif, et fx va en décroissant, pour des valeurs croissantes des, tant que f x est positif; donc, pour des valeurs de x plus grandes que £ rc, fx après avoir passé par zéro deviendra négatif, et sera égal à
Donc f x croîtra et décroîtra symétriquement en deçà et au delà de sa valeur maximum f [{n) = i ,. de sorte qu'on aura
fftfr + l)=fftir-l).
Par conséquent
fM = f(0) =0,f (*)=-*• La variable indépendante x venant à dépasser la valeur irf et fx étant négatif, d.îx sera négatif et f x continuera à décroître en prenant des valeurs négatives. Or, comme fx ne change pas de valeur pour des valeurs de f x numériquement égales et de signes contraires, il en résulte encore
que Ton a
(* + *) = — f(* — *), et par suite
f(|«)=-f(îr) = i,/(H = o.
Lorsque x aura dépassé la valeur \it, fx redeviendra positif, f x recommencera à croître algébriquement en passant par des valeurs numériques de plus en plus petites ; et par la raison déjà indiquée il décroîtra et croîtra symétriquement , en deçà et au delà de sa valeur minimum f (i n) = — \ , de façon qu'il viendra
f'l* + *)=f<tir-*)f
et enfin
f(2 7r)=f(ir)==0,/,(2ir)-4.
En ce moment, les valeurs de f x et de fx redevenant cejqu'elles étaient pour x = 0, f (x) repassera par la même série de valeurs également espacées , et l'intervalle de la période sera égal à 2 n.
On Jdiscuterait de même la marche périodique de la fonction fy et Ton étendrait cette discussion aux valeurs négatives de x.
Ainsi, la règle pour le changement révolutif des signes des sinus et des cosinus, qui n'était établie en trigonométrie que par induction , et par la vérification des formules lorsqu'on les étend, d'après cette règle, aux arcs plus grands que le quadrant, ou même plus grands qu'une circonférence entière, dérive en effet de la génération de ces fonctions, abstraction faite de toute signification géométrique attribuée à la variable x et aux fonctions qui en dépendent.
