Considérons la fonction

$x =cosar-i-sinar.|/^T:

la différentiation donnera

^/ar = — sinx + cosxj/"— i =^a:.|/"— I, ou

D'ailleurs, la fonction <J> x se réduit à l'unité pour x = 0 : donc [72] la fonction ty x peut se représenter par é*yz*, et l'on a cette formule fondamentale

ex^=i = cos x + sin x.y — 4. (À)

Il est bien évident en effet que les fonctions cos x, sin x jouissent des propriétés qui doivent appartenir aux fonctions fx, fx, en vertu des équations {e) et (/*).

126 LIVRE n. — CHAPITRE II.

En changeant le signe du radical dans l'équation (À),

on aura

e— *r-i = cos x — sin x .j/"— 4 ,

d'où Ton conclut

cosx = 5 y m

, (B) sin x = — :

Ces formules, sans cesse employées dans l'analyse, ont été publiées pour la première fois par Euler, qui les attribue à son maître Jean Bemoulli.

On exprimerait de même en exponentielles imaginaires toutes les autres fonctions trigonométriques; par exemple :