L'équation (A) donne encore

x\T~—\ =log(cosar +sina?.|/"-^î);

et si Ton fait x = 2 i w, i désignant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, en en tirera

log.* =8 jir|/"^T.

Ainsi, la signification des exposants imaginaires, et par

suite celle des logarithmes imaginaires étant fixée , il en

résulte que l'unité a une infinité de logarithmes imaginaires,

en outre du logarithme réel zéro correspondant à i = 0. Il

faut en conclure aussi qu'un nombre positif quelconque a

une infinité de logarithmes imaginaires ; car, en vertu de

l'équation identique

az=.a x 4, on aura

log a = (loga) -f-log* =(loga) + 2i> v/^4,

(log. a) désignant le logarithme réel de a.

On trouverait de la même manière

log(-4) = (2t-M)7tV/-4, log (- a) = (log a) + log (- i ) = (log a) + (V + \ ) « V -I .

et cette formule montre que tous les logarithmes des nombres

négatifs sont affectés d 'imaginante.

Enfin l'on aurait

valeurs qui restent imaginaires, quel que soit i,

D n'y a pas, dans l'analyse mathématique, de fait plus remarquable que cette liaison inattendue qui s'établit, comme une conséquence de l'emploi du signe algébrique \/^i > d'une part, entre les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques, d'autre part, entre les logarithmes et les arcs de cercle : c'est-à-dire entre des fonctions si diverses de nature et d'origine, tant qu'on ne remonte pas à la loi qui régit leurs accroissement différentiels.

$ 2. Formule de MoWre et notions sur la théorie des sections angulaires.

77. De l'équation (A) on déduit, en désignant par n un nombre entier positif.

t*3\rz\ = cos »tr -H sin nx. {/^î, et par conséquent

(cos« + sina?.\/^ï)"= cos nx + s'mnx^^Â. (C)

Cette équation se décompose en deux autres, comme tontes celles qui renferment à la fois des termes réels et des termes imaginaires. Ainsi, pour n = 2, on trouve

cos*ar — sinfa? -+- 2 sin x cos x.y/^f = cos 2x + sin Stor. v/^ï,

ce qui équivaut aux deux équations bien connues : sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos1 x — sinf x.

Le même calcul donnerait, n = 3,

sin 3x = 3 cos1 x sin or — sin* x, cos 3 x == cos1 x — 3 cos x sin1 x.

Afin de généraliser ces résultats , nous remarquerons que l'équation (C) donne , par le changement de signe du radical,

(cos x — sin x. {/^Y = cos nx — sin nx.l/^ï",

ce qui conduit aux expressions

(cos x +sin x >y/^iy + (cos x — sin x. i/^i)"

cos nx = ^ ,

(cosx + sin x-v/^)' — (cos x — sin x. v/^)' sinnx= — — ,

En développant les puissances par la formule du binôme,

on fait disparaître les imaginaires, et il vient :

cos nx = cos» x — cos--1 x sin1 x

, n(n-*)(*— 2)(n — 3) , . , , /rv,

+ V.2.3.4 cos-'xsm'x-etc., (D)

sm nx = n cos— ' x sin x - — — 4-z: ' cos"-* x sin'x+etc. (E)

Ces deux formules ne comprennent qu'un nombre fini de

termes, toutes les fois que n est un nombre entier positif.

comme nous le supposons ici.