Soit, pour la simplicité du calcul

cos x + sin x v • ^T = u, cos x — sin x i/^4 = v, d'où

w=z 1, « + i> = 2 cosx, u — v = 2sinxi/^T:

la formule du binôme donne, toujours dans le cas d'un ex-

posant n entier et positif,

(8co8a?)" = (tt+v)- = tt"+!?u--1 H- ~ K—tv* t +w,

ou bien, à cause àeuv = l,

(2C08a?)"=tl-4--tt-t+^— — -*-• +

Mais on a d'ailleurs ii- = cos nx + sin no? V/--4 > *" = cos nx — sin na? v/^ •

donc

. *(n — 0 tft cos #)"= cos nx + n cos (n — 2) x -\ — — cos (n— 4) x+..

+ cos(n — 4)x + n cos (n— î) a? + cosw

[n(n — 4) sin n# + n sin (n — î) <M — — sin (n— 4) s + ...

sin (n — 4) x — nsin (n— 2) a? — sin nx . (m)

La partie réelle du second membre est formée de termes tous égaux deux à deux, à l'exception du terme moyen, dans le cas où n est pair : par la même raison, la partie imaginaire est formée de termes qui se détruisent deux à deux, le terme moyen s9 évanouissant de lui-même si n est pair. Ainsi l'on a, pour les valeurs paires de n,

(lcoBX)m = ï\cQ*nx + nws(n—ï)x + ^-2-Y^M(*—l)x

GO«t0

et pour les valeurs impaires de cet exposant,

(2 cos x)u = 2 cos nx + n cos (n— 2)a? -\ — —- — cos (n— 4) x...

| " mit

cos a;

On trouve de même, selon que n est pair ou impair, (V^-sina?)-= (m— v)-=w— «u-'t; + n— V d-v.

=ir— m*— ■+ n "7 a""4— ^ W"*± v"

= cos no? — n cos (n — 2) x H cos (n — 4) X

=p n cos (n — 2) x zb cos nx

-f-l/—4 sinna? — nsin(?i— 2)aH -j-— sin(n — 4) a? —

± n sin (n — %)x qz sinnx . (m')

Dans le cas où n est pair, la série qui multiplie \/ — 1 , dans le dernier membre de l'équation, s'évanouit comme précédemment ; les termes de la partie réelle s'accouplent, à l'exception du terme moyen, et Ton a

V" 0 * f2 sinx) :=â\ cosna?— ncos n— 2)a?f cos(n— 4)g....

cos 2a?

formule dans laquelle il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs selon que ^ est pair ou impair.

Dans le cas où n est impair, c'est la partie réelle du dernier membre de l'équation (m'), dont les termes se détruisent deux à deux, et la partie imaginaire dont les termes s'accouplent. Après qu'on a divisé de part et d'autre par l/HÏ, il vient

f-n"1"/ 2 sin xj =2| sinna?— nsinpi— $)xi~^- 'sm(n-l)x-....

■*-« Qt).

79. La formule (C), due à Moivre, et qui porte le nom de ce géomètre , fournit immédiatement l'expression des racines des équations de la forme

x* qp 4 =0,

auxquelles on sait que peuvent se ramener toutes les équations binômes.

Prenons d'abord l'équation

et posons

x = cos?-+ sin?. j/— h :

cet angle <p devra être déterminé de manière à satisfaire à

l'équation

cos n? + sin n* {/— 4 = \9

qui se décompose en deux autres

cos rif = I , sin np = 0,

auxquelles on satisfait simultanément si Ton prend

? = — , et par conséquent

x = cos h an — V— ^ (p)

i désignant un nombre entier quelconque.

Il est clair que lorsqu'on attribue à i les n valeurs entières

on a autant de valeurs différentes pour x ; tandis que , si l'on attribue à i des valeurs entières, soit négatives, soit positives, mais numériquement plus grandes que n — 1, on retombe sur des valeurs de x déjà obtenues. Ceci résulte de la formule.

cos|2(An +r)7r cos / , 2nr\ cosf 2r,T

sin{ n sin \ n / sin{ n '

où r désigne un nombre entier, positif et plus petit que n, et k un nombre entier quelconque , positif ou négatif.

Le nombre des racines distinctes données par la formule (q) est donc la même que celui qui exprime le degré de l'équation (w), conformément à la théorie des équations algébriques.

La valeur i=0 donne la racine réelle x = 1 ; si n est pair, — 1 est une autre racine réelle de l'équation,

et cette racine correspond à la [valeur i = |. Toutes les

autres valeurs de i donnent des racines imaginaires.

On sait qu'une équation algébrique à coefficients réels a toutes ses racines imaginaires conjuguées, de manière que le produit de deux racines conjuguées

est une quantité réelle positive «s+/3*. La formule (p) satisfait à cette condition ; car on a

cos c= cos — , sin r— = — sm — ,

de façon que la racine imaginaire donnée par la valeur i=r se conjugue avec celle qui correspond à i=n — r. On peut donc exprimer toutes les racines de l'équation (n), ou toutes

les racines de l'unité, par la formule

x = cos — ±sm — .1/— 4, n n

dans laquelle on n'attribuera à i que les valeurs entières de

0 à § inclusivement si n est pair, et de 0 à^^ si n est

impair.

Les facteurs réels du second degré, qui sont les produits

de deux facteurs imaginaires conjugués, se trouvent compris

dans la formule

*«* . x» — 2x cos |- \ .

n Cette proposition , à laquelle on peut donner facilement un énoncé géométrique , est connue sous le nom de Théorème ■ de Cotes.

L'équation

donne lieu à des formules analogues que Ton obtient en écrivant dans celles qui précédent 2t + * au lieu de ii.

Réciproquement , toutes les fois que l'on saura résoudre algébriquement une équation binôme

s-qp* = 0, c'est-à-dire exprimer ses racines imaginaires par un système de radicaux algébriques, on aura une expression algébrique des lignes trigonométriques

COS j 2/rr COS j (ït -M)tt

sin ' n J sin l n ' et en particulier des lignes

sin — , cos — .

Donc, si ces racines imaginaires s'expriment par un système de radicaux du second degré , que Ton puisse con-

struire avec la règle et le compas, comme on l'enseigne dans les éléments de la géométrie analytique, on pourra construire avec la règle et le compas le sinus ou le cosinus de l'arc qui est la n* partie de la circonférence f et , par conséquent , diviser géométriquement (dans le sens des anciens) la circonférence en n parties égales. On voit par là comment ce problème, si célèbre chez les géomètres grecs, se rattache à la théorie de la résolution algébrique des équations , qui elle-même se lie étroitement à la théorie des combinaisons et à celle des nombres. Mais ce n'est pas ici le lieu d'insister sur ces rapprochements très curieux ? qui intéressent plutôt la philosophie des mathémathiques que leur application aux autres sciences positives.

80, On résout, à l'aide des tables trigonométriques, nonseulement , comme on vient de le voir, les équations binômes, mais encore les équations trinômes de la forme zfm — *azr + b = Q; (q)

car, si Ton en tire pour 2" une valeur réelle, elles se ramèneront immédiatement à des équations binômes dudegré n ; et dans le cas contraire , où l'on a a2< 6, on pourra poser

z = y/h.x, ^-= = ±cos>,

X désignant un arc plus petit que le quadrant : au moyen de quoi l'équation (q) prendra Time des deux formes x*m — 2 xr cos x + \ = 0, (qt) x*m + %xr cos \ + 1= 0. (y») Admettons que ce soit la première , et posons x = cos f 4 sin f . y — 4 ; la valeur de l'angle o> devra satisfaire aux conditions cos 2 n? — 2 cos n? .cos > -+- I = 0; sin 2 n? — 2 sin n? . cos > = 0 ;

et elle y satisfera effectivement si Ton prend

cos rup = cos >, d'où f =

i désignant un nombre entier, quelconque. Ainsi les 2n

racines de la proposée sont données par la formule

2t7r±> , . 2tV±X ,

x = cos (- sin . t/— i ,

dans laquelle on attribuera successivement à i toutes les valeurs entières, de 0 à n — 1 inclusivement. Les facteurs de l'équation (qt) sont représentés par la formule

, tt 8iic±X , a

x* — 2 x cos + \ .

Il faudrait remplacer dans les formules précédentes %i par 2î + 1 , afin de les adapter à la résolution de l'équation