Lorsque dans la formule de Moivre
(eosff+sin a?.v/=î)*=cosna?+sinrw:.v/:::î (G) on attribue à n des valeurs entières,' chaque membre de l'équation ne comporte qu'une seule valeur, et l'application de la formule n'exige aucune remarque nouvelle ; mais si
l'exposant n est une fraction rationnelle^, que Ton doit
toujours supposer réduite à sa plus simple expression , le premier membre de l'équation comporte, d'après la théorie des racines de l'unité,' q valeurs distinctes que Ton obtiendra en multipliant successivement le second membre par les racines de l'unité, du degré q. Or, d'après ce qui précède, ces racines sont données par la formule
cos — + sin - .|/— i.
Donc, pour que dans ce cas la formule de Moivre acquière la généralité qu'elle doit avoir, il faut écrire
(wbx + sin a?y ^y=[w)^x+sin-x V^jf ws— +s^— V^î]
z=cosi—- +sm£ V-i-
En outre, puisque p est un nombre entier, premier avec q7
on peut remplacer i par jw, ce qui donnera cette formule
plus élégante
[cosa? + sinx-V/:iï]«=cos - (x+2iit\+$in- Çx+%i«*.\/'^i,
dans laquelle on attribuera à i toutes les valeurs entières, de 0 à q — 1 inclusivement.
* 82. Les formules (D), (E), (F,), (F,), (Gt), (Gt), qui servent à transformer les sinus et cosinus des multiples d'un arc en puissances des sinus et cosinus de Tare simple , ou réciproquement, doivent recevoir des modifications analogues lorsque les indices des puissances sont des nombres fractionnaires ; et ce point délicat de la théorie des sections angulaires a été mis dans un grand jour par l'intéressant mémoire que M. Poinsot a publié en 1825, sous le titre de Recherches sur l'analyse des sections angulaires. Voici quelques explications à ce sujet, que Ton pourra laisser de côté à une première lecture, comme étant moins essentielles que ce qui précède.
Soit
♦x=cosnx + ncos (n— 2) x-\ — \ „ cos(n— 4)g+etc./
vrp=sin nx + n sin (n— 2) x + sin (n— i)x + etc.i
la formule (m) deviendra
(2 cos a?)-= *a? + vx v '— i ;
et cette formule pourra être censée établie, d'après les calculs du n° 78, pour des valeurs quelconques de l'exposant n,
si Ton admet que la formule du binôme subsiste pour des valeurs quelconques de l'exposant, sous la condition de conduire à une série convergente : ainsi que cela se prouve dans la plupart des traités d'algèbre, indépendamment de la démonstration par le calcul différentiel, qui doit être donnée plus loin.
Quand n est un nombre positif entier, la fonction Wx est nulle ; la fonction $x est composée d'un nombre fini de termes qui s'ajoutent deux à deux, selon qu'on l'a expliqué : mais en général les seconds membres des équations (H) sont des séries formées d'un nombre infini de termes.
Donnons à n la valeur fractionnaire ^ (p, q désignant des
nombres entiers, positifs et premiers entre eux) : la quantité radicale
(Si cos x)q v '
admettra q valeurs distinctes , comprises dans l'expression
Uw + vx ï/^U (cos ^îtV + sin- .«* v/— ï ),
qui équivaut, d'après ce qu'on a vu plus haut, à * (x + 2tV) + y (je + lin) . y/3Zï,
i devant recevoir toutes les valeurs entières, de 0 à q — 1 inclusivement.
Supposons que cos x soit positif , et désignons par X la valeur réelle et positive du radical (r) : on obtiendra les autres valeurs du radical en multipliant X par les racines de l'unité, autres que 1 ; c'est-à-dire que les q valeurs du radical seront comprises dans l'expression
X (cos - Si'* + sin- .2t'ff.i/~i,
sous la condition d'attribuer à i' toutes les valeurs entières de 0 à q — 1 inclusivement.
Donc, il sera toujours possible d'assigner entre ces limites aux nombres entiers i, ï des valeurs telles que l'on ait
X(cos- .2î'tt + sin - .Wn.y=\)=z<t>(w+ïi7t)+}¥(x+(2iT.yrzri)}(s)
ou, ce qui est la même chose,
X (cos - . 8t V + sin^ . 2t V . y ~\) = 9 Q
(*x + wx.y^i) (cos^ .*in + sin- .iiz.y^i); (t)
et la question est ramenée à déterminer les valeurs correspondantes des nombres i, ï.
Faisons dans l'équation précédente x=0 : on a
y(0) = 0,*(0)=(4-M)5, X0 = 2<; donc î=îf, et par conséquent la formule (s) devient
X(cos P .2ï7r+sin ^ . âeV . [/^) = $ (x + 2^) + Y (x+2iV) . {/Z\ .
Comme on peut prendre maintenent i=0, il en faut conclure que l'on a , pour toutes les valeurs de x comprises entre — ? " et £ ?r, qui font de cos x une fraction positive ,
tfa? == X, vx = 0 ; («)
et plus généralement on a entre ces limites, à cause de l'indépendance des deux parties réelles et imaginaires,
*!tf + 2tir) = X cos - Mv, v{x + 2*») = X sin - .2iît.
* 83 . Supposons maintenant que cos x soit négatif (x tombant entre \ tc et | w), et désignons par X la valeur réelle
et positive du radical (— 2 cos #) ? : on aura
(îcosar)f = X (—4)5 =X[cos - (Si' +l)7r + sin? («i'+lk.t/11*];
et, en conséquence, les équations (s) et (t) seront remplacées par
X [cos?(2i' -M) * + sin^(2f+ 4)tt.v/^î] =
*(a?+ 2t*7r) + W (X + îlir) . v/^i (O
X[cos^(2t' + 1)* + sin^(2i' + \)*.V=Ï\ = 9 9
(** 4- vx.\/=\) (cos- .Site -f- sin - .««V-v/—*)- (0
Les nombres i, i' continuent de comporter toutes les varleurs entières, de 0 à q — 1 inclusivement ; et parmi ces valeurs il s'agit de savoir quelles sont celles qui se correspondent.
Or, si l'on prend x=t:, tous les cosinus et les sinus qui entrent dans les seconds membres des équations (H) devenant égaux à cos^rc, sia^n, on trouve
V p *(jr) = (I+4)iC0S- 7T,
v(*)=0+OïBin^ir, p
et X % a pour valeur 2 i ; de sorte qu'on tire de l'équation (t')T
p après la suppression du facteur commun 2 * ,
cos? (8i' + 1) « + sin^ \%i' + I) « .\/^i 9 9
= (cos-t: + sin-7r.v — O(cos- %m + sin-Sirc-i/ — 1* ? 9 9 9
~ cos-(2i+t)* 4 sin -(2i + 1)77.^^; 7 7
140 UVRB 11. CHAPITRE II.
d'où il faut conclure i'=i, et par suite
Cette dernière équation se décompose dans les deux suivantes:
4> (X + 2 in) = X COS - (2i + I) tt,|
Y(a? + 2iff)=Xsin^(2i + *)ir;l
et quand on pose t=0, il vient
P <M? = Xcos-7T J
Y0=zXsin-îr.
* 84. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les fonctions $, ¥ ont une valeur déterminée, pour toutes les valeurs de x, en vertu des équations (H), ou qu'on pourrait construire avec une approximation indéfinie, au moyen de ces équations seulement, les courbes ayant pour abscisse x et pour ordonnées $a, Vx. Si cette condition essentielle n'était pas satisfaite, c'est-à-dire si les seconds membres des équations (H) ne constituaient pas des séries convergentes, les formules obtenues deviendraient illusoires et n'offriraient réellement aucun sens déterminé. Or, la condition exigée se vérifie, comme M. Cauchy Ta fait voir, tant qu'on n'attribue à l'exposant n que des valeurs positives.
En effet Ton a, par la formule du binôme,
le développement ne s'arrêtant que pour les valeurs entières et positives de n, et conduisant, pour les autres valeurs de l'exposant, à une série infinie. Soit j/, le terme de cette série
qui en a i avant lui, il viendra
yi+\ t — n i
yi ~"t + « *f""4 + 4 î
donc, à mesure que Ton fait croître i, la valeur du rapport (p) converge vers une limite numériquement plus petite ou plus grande que l'unité, selon que la valeur numérique de e est elle-même inférieure ou supérieure à 1 . Donc [26] la série (e) est convergente pour toutes les valeurs de e numériquement plus petites que l'unité. En outre, tous les termes de cette série, pour lesquels l'indice i est supérieur à la valeur numérique de n-ft, se trouvent évidemment affectés du même signe, qui est celui du terme
y désignant le nombre entier immédiatement inférieur à n. Donc, à la limite e=l, la série (e) est convergente ou divergente, selon que la quantité (1 — e)' converge vers une limite finie ou nulle, ou vers une limite infinie, tandis que e converge vers l'unité. Or, quand l'exposant n est positif, on a
/tm.fl — •)• = (! — «3r = 0, et conséquemment il vient, pour les valeurs positives de n,
0= , n>j(iZZ^nO-n)(2-n)
Mais, puisque la série (fe), dont tous les termes, à partir d'un certain rang, ont le même signe, se trouve convergente, les séries {U) que l'on obtient en multipliant chaque terme de la série (h) par un facteur, tantôt positif, tantôt négatif, mais toujours numériquement plus petit que l'unité, sont à plus forte raison convergentes, tant que le paramètre n
conserve une valeur positive, et quelle que soit la valeur àex.
Les formules des deux numéros précédents ont pour résultat utile de faire connaître les valeurs des fonctions Qx, Y#, sans qu'on ait besoin de recourir aux calculs d'approximation fondés sur l'emploi des séries. Ainsi, les fonctions <bxj¥x étant données par les équations (m) pour les valeurs de x comprises entre — fr et £tt, et par les équations (w) pour les valeurs de x comprises entre »tt et |ir, se trouveront déterminées, en vertu des formules (v) et \v'), pour toutes les valeurs positives de x<(2q — ;)tt; et comme on a d'ailleurs, d'après la forme des équations (H),
*x = * (x + 2kq*), Vx = v(x + ïkqn),
k désignant un nombre entier quelconque, il s'ensuit que les valeurs des fonctions Qx, Wx seront connues pour toutes les valeurs de x\ ou qu'on aura, pour toutes les valeurs de x, les limites vers lesquelles convergent les sommes des séries
cos^tf +-«.cos(-- '%)x + q \ n J.cosfZ — i)x + etc.,
sin-a? +-«.sinf -— 2 )x +— iVsinf- — i)x + etc.,
quand le nombre e, en restant plus petit que 1 , converge indéfiniment vers l'unité.
Soit, par exemple, w=£ =i, on aura pour les valeurs de
x comprises
entre— - *■ et - *, «for = \/% cos x,
entre - ir et - *, *x = \/ — S cos x. cos - n = — - [/% cos x,
entre - « et - *, *# = l/4 cos .r . cos - * = — '- \Z<b cos a?, 2 2 3 2
entre - 7r et r, *a? = |/— 2 cos rr. cos * = i/2 cos x,
entre - ir et - r, * j; = |/2 cos a?, cos - ir = 1/2 cos x,
entre - *■ et-—ir, *x = |/— 2 cos x. cos - ic = — 1/2 cos 37 2 2 3 2
après quoi les valeurs de $x repasseront périodiquement par les mêmes valeurs. En conséquence, la courbe périodique dont$x est l'ordonnée a la forme indiquée par la fig. 29.
