CHAPITRE ffl

RÉSOLUTION DES CAS D'INDÉTERMINATION POUR LES FONCTIONS EXPLICITES D'UNE SEULE VARIABLE. — RECHERCHE DE LEURS

valeurs maxima et minima.

$ 4". Résolution des cas d'indétermination pour les fonctions explicites d'une

seule variable.

85. Nous traiterons dans ce chapitre de deux applications importantes du calcul différentiel, et d'abord de celle qui consiste à trouver la valeur d'une fonction de #, quand elle se présente, pour une valeur particulière de x, sous la forme

indéterminée g .

Le problème revient [28] à déterminer la limite vers laquelle converge la fonction

lorsque x converge vers la valeur x0, et qu'en même temps les fonctions fx, Fx convergent toutes deux vers zéro.

Supposons," pour simplifier, que les deux fonctions fxel Fx s'évanouissent pour a?=0; faisons varier x de zéro à une quantité h assez petite pour que, dans cet intervalle, la dérivée de la fonction Fx ne change pas de signe, ce qui revient à dire que cette fonction Fx va constamment en croissant, ou constamment en décroissant, dans l'intervalle considéré. Partageons h en n parties égales ; appelons h'- l'une des parties et considérons les fractions.

(V fih'-fh' flk'-fW fk-f(n-i)V

{ } FA" F8A' — FA" F3A' — F2A" FA — F(n — i) A"

dont les dénominateurs ont le même signe. Si Ton fait la somme des numérateurs et celle des dénominateurs, on obtient la fraction

dont la valeur est comprise entre la plus grande et la plus petite des fractions proposées. L'une quelconque de ces fractions est de la forme

f(x + h')-fx f(w±h')—fx À'

F (x+ À') — Fx F (* + A') — F*

Supposons maintenant que l'on ait partagé l'intervalle h en un nombre de parties de plus en plus grand; h' tendra vers zéro, et la fraction (3) qui représente l'une quelconque des fractions (1) tendra vers une limite égale à

Concevons que x varie d'une manière continue de zéro à h'; la fraction (4) variera aussi d'une manière continue ; elle passera donc par toutes les valeurs comprises entre la plus grande et la plus petite des valeurs qu'elle acquiert dans cet intervalle. Mais la fraction (2) est égale à l'une de ces valeurs moyennes ; si l'on désigne par 0 un nombre positif plus petit que l'unité, Oh sera une valeur de x inférieure à h et pour une valeur convenable de 6, on aura

w FA F'(9h)'

Pour revenir au cas général où les deux fonctions s'évanouissent pour x=. x„ il suffit de poser x=x.-f A ; les deux fonctions f(x,-\-h) et F(a;.-f-^) s'évanouiront pour fc=0, et l'on aura, en vertu de ce qui précède,

f(x»+ h) f'(x. + bh)

F(x0 + A) F'(x, + eh) T. 1. 40

Si Ton fait tendre h vers zéro, il vient

Il peut arriver que les deux fonctions fx et F'x s'évanouissent simultanément pour x=x0; on aura alors, en vertu du même principe,

f{x0+ eh)r{*o + *'h) F"KXo+oh)~¥"(+x0 o'h)' la lettre 0' désignant un nombre inférieur à l'unité et même inférieur à 6; il en résulte

F(x. + h)r(x. + e'h) f(x. + h) V{x. + e'hy

et, en passant à la limite,

et ainsi de suite.

La valeur de <px„ ainsi déterminée, peut être nulle ou infinie.

Si la valeur x. rendait infinies les deux fonctions fx, Fx, elle ferait évanouir les fonctions

fx' fx' qui ont respectivement pour dérivées du premier ordre

fx F'x

~tfxy' W

Il viendrait donc

< f(fÊ.-Hk)

f{xo + h) ¥(x. + h) F,(g.+»A)F'(a?.+6A) r(x.+6k) F (xo + A) "~ < "~ /'(S.+9A) /* («.+•*) F»(*.+6A)'

A*. + A) r(».+9A) équation d'où l'on tire

rfto±*yf

l¥(xt+eh)\ f{x, + eh)

f(x, + h) F'(*, + eA) F(».+ A)

Si, quand h tend vers zéro, la fonction <fx tend vers une limite déterminée <?xoy le numérateur devenant égal à <?*x0, on a

Nous en conclurons avec M. Cauchy que la règle pour trouver la valeur de yx0 reste la même quelle que soit celle des

deux formes indéterminées ^ , + g-, sous laquelle se présente le rapport jjr- .

86. On trouvera, en appliquant cette règle, et en la combinant avec les règles de différentiation données dans l' avantdernier chapitre.

1* pour x=0,

if — b0 sa\

— — = log a — logé = log \^y

log G) si»1 * . m Ma m A

= = sm x cos w = 0,

cotx x

x — sin x 1 — cos x sin x cos x 4

x1 Zx% 6x 6 6

sin'x 3 sin1* cos x 3 sin x (2 cosfx — sin* x)

s — Jsinîx 4— cosîx îsinïx

3 cos x (2 cos1* — 7 sin'x) 3

4 cos SU; 5"

2°pourx=i,

r — \ nxr- l n9

(x*— 4)1 — a? +4 3a?v/â*~ITT--4 ~" ? x* — 4 + (a; — 1)1 \V* J-Wx^7* I

t/xf-*