Supposons que la fonction F x se réduise à a, et que

l'autre fonction fx jouisse de la propriété de devenir nulle

ou infinie en même temps que œ% on pourra être curieux de

connaître le rapport qui subsiste entre cette fonction et la

variable x, quand Tune et l'autre deviennent nulles ou infi-

. nies. Ce problème rentre dans celui qui vient d'être traité :

ainsi l'on trouvera , pour x=0.

1 — cos x =0,

et pour #=oo ,

On énonce ces résultats en disant que le sinus verse d'un arc infiniment petit est infiniment petit par rapport à cet arc ; et que le logarithme d'un nombre infiniment grand est infiniment petit par rapport à ce nombre.

Soit proposé de discuter la courbe qui a pour équation y=xlogx; les valeurs négatives de x rendent y imaginaire, et l'ordonnée y est positive on négative selon que les valeurs positives de x sont > ou < 1 . Pour savoir quelle est la valeur de y

correspondant à x=0, on fera

et il viendra

logz

Or, d'après ce qui précède, y =0 pour 2=00 ou pour x=0 ;

d'ailleurs on a

dv

quantité qui devient infinie pour rc=0. en sorte que la courbe touche Taxe des y à l'origine des coordonnées (fig. 30). On peut ajouter cet exemple à celui qui a déjà été

donné [16], de courbes transcendantes qui sont interrompues brusquement dans leurs cours , sans qu'il y ait raccordement entre deux branches de la même courbe , comme cela arrive toujours pour les courbes à équations algébriques.

88. S'il arrivait que toutes les dérivées de fx et de F x devinssent nulles ou infinies en même temps que les fonctions dont elles dérivent, la méthode serait en défaut, et il faudrait déterminer la valeur de <p x0 à l'aide de procédés particuliers. Si, par exemple, on avait

quand on ferait #=1 , ces deux fonctions s'évanouiraient , et leurs dérivées de tous les ordres deviendraient simultanément infinies. Mais si nous posons x — 1 = z , il viendra ^ VJTi - \ + y*

En multipliant les deux termes de la fraction par

t/ïTi+i —V*> et supprimant le facteuc \/z qui devient commun aux deux

termes , on obtient

^"yï+i. (v/f+i + l —V*\' expression qui donne

quand on y fait z=0, ou a?=l .

89. Nous savons qu'une fonction ne peut devenir infinie, pour une valeur particulière de la variable, sans que toutes ses dérivées deviennent simultanément infinies [35], et ainsi , le cas où la méthode générale se trouve en défaut , doit se présenter toutes les fois que la valeur de x qui fait évanouir fx et Fx rend infinies f x et F' x. Au contraire, on

ne peut regarder que comme une exception singulière de la méthode (du moins pour les fonctions susceptibles d'une expression mathématique), celle qui résulterait die l'évanouissement simultané dés dérivées de tous les ordres des fonctions fet F. On a pourtant signalé des fonctions pour lesquelles cette exception se rencontre. Prenons

fx = a âr a et n désignant des nombres positifs dont le premier est plus grand que l'unité : on aura

nloga.a <*" .. — •— ( n log a n-fU fx=z — 2 F x = lwa.a * l —r- — / • etc.

Quand on fait 2=0, la quantité

est infiniment petite ou nulle, ce qui met toutes les dérivées f'x,f"x,. • • . sous la forme j|. Posons

w il viendra

__nlogq.z»+* nloga.(nlogfl.z(»++)>~(n-[-4)z»+*)

et la valeur x=0 correspondra à z=<x> . Or, il est facile de voir que toute expression de là forme

{Aans laquelle a> m et n désignent des nombres positifs et a tm nombre plus grand que i), est nulle ptfur 2= a> ; car si Ton applique à cet exemple la règle générale concernant la

détermination des fonctions qui se présentent sous la forme indéterminée

oridifférentiera i fois de suite les deux termes de la fraction, tétant le nombre entier immédiatement supérieur à m, et Ton aura pour z ■ = <x> ,

k étant un nombre constant, et ^ z une fonction qui reste infinie quand z est infini. Par conséquent toutes les dérivées de la fonction fx s'évanouiront, quand on y fera # = 0. Si donc on donnait

b étant ainsi que a un nombre positif plus grand que F unité, et ri un nombre positif aussi bien que n, les dérivées de tous les ordres des deux termes de la fraction

s'évanouiraient simultanément pour x =0, et l'on nepourrait plus appliquer la règle générale. Dans le cas de n'=tt, il viendra

et la valeur x==û rendra <p # nulle ou infinie, selon qu'on

aura a > ou < b.