I.M.M(^)PI>M

En continuant ce raisonnement, on parviendra, après t+1 différentiations successives, aux inégalités

Qr, ces inégalités finales, et par suite les inégalités primitives (c), seront satisfaites, si Ton choisit pour P et pour Q respectivement la plus petite et la plus grande valeur que prenne la fonction dérivée

pour les valeurs de z comprises entre x et x±h.

Si cette fonction était constamment croissante ou décroissante, de x à x-\-h, on pourrait poser

ou inversement

Donc le reste R< a pour expression

168 LIVRE If. — CHAPITRE IV.

0 désignant un nombre inconnu, compris entre 0 et i, de manière que x-\-6h tombe entre as et x-\~h. Nous écrirons d'après cela

Maintenant , s'il arrive que les valeurs numériques des onctions

ne dépassent jamais une certaine limite X, pour toutes les valeurs de z comprises entre x et x-{-h, et pour toutes les valeurs possibles de l'indice de différentiation i , on aura numériquement

et alors, quel que soit h, on pourra toujours prendre i assez grand pour que R, tombe au-dessous de toute grandeur donnée. Par conséquent, dans ce cas, la fonction f (x-\-h) sera la somme de la suite (b), prolongée à l'infini ; ce que nous indiquerons en écrivant :

f (*+*) = /*+ Ifx + f^r* + j£jr *+ etc. (B)

Cette formule porte le nom du géomètre anglais Toylor, qui Ta découverte, et Ton en fait un perpétuel usage en analyse. On en a donné une foule de démonstration ; celle qui précède, telle que nous l'avons présentée, nous semble parfaitement rigoureuse ; et nous l'avons préférée, noni-seulement pour nous rapprocher de la marche de l'inventeur, mais parce qu'elle nous parait très propre à bien fixer le sens et l'étendue de cette formule fondamentale.

i 00. Il sera bon, néanmoins, d'indiquer un autre tour de

démonstration. On peut toujours poser

f[x + h) = fx+h?(x, h),

la fonction inconnue <f devant être telle que le terme fy (x, h) se réduise à zéro pour h = 0. On tire de là

expression qui se présente sous la forme jL et se réduit,

comme on sait, à fx7 quand on y fait k=0. D'après cela

nous pouvons poser,

v(x,h) = fx + hn{x,h), d'où

f(x + h) = fx +-Jx + h* n\x, A),

f(x + h) — fx — hfx

Cette expression de <ft se réduit encore àjj, pour h=Q.

Appliquons la régie générale [85] en prenant les dérivées des deux termes de la fraction par rapport à h : il viendra

"(*'0)= — no — '

et en différentiant de nouveau, pour faire disparaître l'indétermination qui subsiste encore ,

d'où

f (X+ h) = fx+jf x + h-^fi* + **.(*> *)]•

Sans pousser ce calcul plus loin, on voit comment on retrouverait la loi du développement, après quoi on assignerait, comme ci dessus, les limites du reste R<.

101 . Enfin, si l'on veut appliquer les règles élémentaires de l'intégration déjà exposées [55] , on trouvera de la ma-

nière la plus directe , non-seulement la loi du développement de Taylor, et les limites de R,. mais la valeur même de R, exprimée par une intégrale définie. En effet, quelle que soit la fonction /", pourvu que cette fonction reste continue entre les valeurs de la variable désignées par x et par x-f-ft, on a

f{x + h) -f(x)=f*+kr X.dx.

Pour mieux distinguer la variable courante x, sous le signe d'intégration, de la valeur x qui entre dans l'expression des limites, on peut écrire

f(x + h) — fx ^f^fx'.dx',

ou bien encore, en changeant de variable, et en posant

x' = x -f- A — z9 dx' = — dz,

f(x + h)~fx = -f *r(x + k-z)dz

= / f {x + h — z) dz.

La formule (8) du n° 55 devient , quand on y remplace x par z, et quand on prend pour limite inférieure des intégrales v=0, pour limite supérieure z=h,

f <rz.Vzdz = ?h.$h — <t$).W) — f $z.?'zdz. (rf>

Faisons dans cette formule

yZ = f (x+h — Z), yffZ Z=ZZ,

d'où

il viendra

f r (x+h— z)dz=hfx+fh*r {*+*-*)**>

et par suite

f{x + h) = fx + jf'x + fhzr{x+li—*)d*-

FORMULE DE TAYLOB. 171

Introduisons maintenant dans la formule (d) la supposition

fz = f"(x + h — z), **=}«', d'où

nous aurons

f'h zf (x +.h — z) dz = \h* f x + \ f* z*f" {x + h-z)dz, et en conséquence

On trouverait de même

et en continuant ce calcul de proche en proche ,

f(X+h) = fx+';rx+^r*+^rx+

Maintenant il est clair que si l'on désigne , comme cidessus, par P et Q la plus petite et la plus grande valeur de

pour la série des valeurs de z comprise entre 0 et h, on aura

/' z'/W-d^ +h— z)dz>?f z*dz,

/.fc Pfr+i

zifV+*(xrh-z)dz>— -, o I -M '

car la dérivée de la fonctionnas est i dz [59]. Il vient pair la même raison

* /"+«)(a; + A 2) dz < =— ;

donc la valeur de R) tombe entre

et w

et de plus on a

valeur que l'on pourra calculer exactement, ou par approximation , à l'aide des procédés qui seront exposés plus tard, en supposant donnée la fonction f9 et par suite la dérivée

102. Écrivons z au lieu de x dans la formule (A), et ensuite remplaçons h par a — z : cette formule deviendra

/sr=/k+—r,+Lrfr«4 +nûrr/,*+rt (f)

en posant par abréviation

Pour i=0, la formule donne

6 désignant un nombre compris comme 6 entre (X et 1 , mais en général différent de 0 ; et de là on tire, en remplaçant f par?,

Mais d'après l'équation (?) on a évidemment <p#=0 ; et si Ton différentie cette même équation (?) par rapport à z, en supprimant à mesure les termes qui se détruisent, il restera

(X — zV

d'où ,' [,+ 9, (*-*)] = -<L=!îLËZ^!/wi) [2 + a, (x- ,,].

En conséquence, on tire de l'équation (<p')

"="";.,8yi^"m^|t.+..tx-,)i,

et Ton peut, dans la formule (A), remplacer l'expression du reste R,

par cette expression équivalente, due à M. Cauchy ,

103. De quelque manière que Ton arrive au développement de Taylor, ce développement n'a de sens qu'autant que l'on conçoit la suite des termes obtenus complétée par un reste, qui peut > dans certains cas , décroître au-dessous de toutes limites , ce qui permet de considérer la série prolongée à l'infini comme équivalente à la fonction proposée. Dans cette hypothèse , il faut bien que la série soit convergente ; mais la réciproque n'est point vraie , et la série prolongée à l'infinie pourrait être convergente sans que le reste R„ qu'il faut toujours calculer directement, allât en décroissant indéfiniment. Dans ce cas, la série de Taybr serait en défaut, la somme de la série convergente ne coïncidant pas avec la fonction donnée.

Pour se convaincre de la vérité de cette proposition, il suffit de considérer que, dans tous les raisonnements qui précèdent , la fonction fx est supposée quelconque : elle peut être mathématique ou empirique ; il suffit , pour l'application des formules, que cette fonction et ses dérivées de tous les ordres n'éprouvent aucune solution de continuité corres-

pondante aux diverses valeurs de la variable , de x à x-{-k inclusivement. Cela posé, le tracé de la courbe y=fz étant arbitraire entre les valeurs z=x et z=aj-f h, et ne dépendant point de la forme de la courbe dans le voisinage du point initial, il serait absurde que les quantités ,

fx,fx,f'x,ï"xy

qui toutes se rapportent au point initial, déterminassent implicitement le tracé de la courbe dans tout l'intervalle que Ton considère. Par conséquent , f (x-\-h) ne peut pas en général être déterminée par la série des quantités fz,

f'x, , même prolongée à l'infini. Mais du moment

que l'on a égard au reste R„ pour l'évaluation duquel il faut tenir compte de toutes les valeurs de la fonction, dans Fintervalle de a: à #-|-ft, la difficulté disparaît , et rien ne saurait infirmer la légitimité du développement.

A la vérité , on pourrait supposer que , si deux fonctions fz9 ftz, non identiques dans l'intervalle de z=x à z=x+A, étaient telles néanmoins que Ton eût

ft*r=fx, ft xyfx, fx x — fxy (/)

jusqu1à l'infini , l'une au moins de ces fonctions devrait subir, pour z=x , une solution de continuité d'un ordre quelconque, ce qui suffirait pour qu'on ne pût pas prolonger à l'infini la série de Taylor, et ce qui rentrerait dans une exception déjà signalée. Effectivement nous avons admis déjà [37] et nous démontrerons plus loin que, si les fonctions ft , fxz sont déterminées , explicitement ou implicitement, par des équations algébriques, la série des équations {f) entraînera l'identité des deux fonctions ; en sorte que , si les deux fonctions avaient dans une partie de leurs cours la même expression algébrique, et dans une autre portion de leur cours des expressions algébriques non identiques , elles éprouveraient nécessairement, au passage d'une expression

à l'autre, une solution de continuité d'un ordre quelconque. Mais rien n'autorise à généraliser cette remarque en l'étendant aux fonctions empiriques , ni même aux fonctions transcendantes , comme M. Cauchy l'a montré sur un exemple bien simple.

Prenons en effet

A* = A + «* fz restant quelconque. Nous avons vu [89] que,pour z=0,

les dérivées de tous les ordres de la transcendante e *g s'évanouissent avec la transcendante dont elles dérivent : par conséquent, pour £«=.0, on aura

flx = fx,fx'x=fx,fl',x = rx,

jusqu'à l'infini , bien que les fonctions f et ft restent distinctes pour toute autre valeur de z.

D'après cela, le développement de fth par la série de Taylor, prolongée à l'infini, ne différera point du développement de fh ; et si la série de Taylor ainsi prolongée est convergente et a pour somme fh, le même développement, quoique convergent , sera fautif quand on l'appliquera à la fonction fr

Désignons en général par <pz une fonction de z telle que, pour une valeur particulière z~x9 on ait

0 =: fX = f'x = fwx =

jusqu'à l'infini ; et soient R(l , R^les restes de la série de Taylor pour les fonctions

/(a+^A (*+*) = /> + *)+? (* + *), il faudra évidemment qu'on ait, quel que soit l'indice i ,

RlV)-K» = ?{x+h),

ce qu'il serait d'ailleurs facile de retrouver à posteriori , au moyen de l'expression du reste en intégrale définie.

104. Le nombre de termes dont se compose la série de Taylor n'est limité que dans un cas , savoir : quand fx est ime fonction algébrique entière ; car alors , m désignant le plus haut exposant de x dans cette fonction , la dérivée du m* ordre est une quantité constante , et les dérivées des ordres supérieurs s'évanouissent [60].

Si Ton pose fx = #", la série de Taylor donne, pour un exposant quelconque m , le développement de (x-{-h)m, et coïncide avec la formule de Newton , qui se trouve ainsi démontrée pour un exposant quelconque , comme nous l'avions annoncé [66 et 82]. On a en même temps m(m—\) (m — *)/** N ra.

105. La série de Taylor, par sa généralité, avait déjà fixé depuis longtemps l'attention des analystes , lorsque Lagrange imagina de la prendre pour base de la théorie des fonctions, et par ce moyen d'éluder, à ce qu'il croyait, dans le passage de la discontinuité à la continuité , l'emploi de toute notion auxiliaire délimite, de fluxion ou d'infiniment petit. A cet effet, Lagrange admet qu'une fonction quelconque, ou du moins qu'une fonction mathématique quelconque f {x-\-h) peut se développer en une série telle que

fx + ftx.h* + ?tx.h? + tpzx.kt + etc. Il montre , en s'appuyant sur la nature algébrique de la fonction , que ces puissances ne peuvent être ni négatives, ni fractionnaires, tant que x et h restent indéterminés. Car d'abord, si la série contenait des puissances négatives de /i, en y faisant h = 0, les termes affectés des puissances négatives deviendraient infinis, et, par conséquent, fx aurait une valeur infinie, ce qui ne peut arriver que pour des valeurs particulières de x. En second lieu, si la série contenait un terme affecté delà puissance fractionnaire^, d'après

les propriétés des radicaux, ce terme aurait autant de valeurs distinctes qu'il y a d'unités dans le dénominateur q ; en sorte que, pour un même système de valeurs de x et de fx y f{x-{-h) aurait plusieurs valeurs distinctes ; ce qui ne peut arriver que pour certaines valeurs particulières de x et de fx, par la même raison qu'il est impossible que tous les points d'une courbe soient des points de rencontre de plusieurs branches de la courbe.

On peut donc admettre que le développement de f (#+A) est donné d'une manière générale par la formule

f{x + h) =^ + ^+i! ?È a? + A8 y, a? + etc.; (A)

et, ceci posé, Lagrange appelle la fonction <p, x la dérivée de fx, en la désignant par la notation f'x, pour mieux rappeler la liaison qui existe entre fx et <pd x. Le mode de dérivation ainsi défini, il ne lui est pas difficile de trouver la loi suivant

laquelle les fonctions <p, x, <ftx, dérivent de fx, et

d'écrire dans sa notation la formule de Taylor

• nx+h)=fx+*r*+^r* + ^rx+*K.

Il suffit maintenant de substituer successivement à fx les fonctions élémentaires u , log x, sin x, et de trouver, par les méthodes algébriques connues, les premiers termes des développements des fonctions (x + h)m, log (x + h), sin (x + h), suivant les puissances de h, pour en conclure les premières dérivées de ces fonctions élémentaires, et par suite leurs dérivées des ordres supérieurs, comme aussi les dérivées des fonctions quelconques, composées de ces fonctions élémentaires.

C'est ainsi, selon Lagrange, que la théorie des fonctions se trouve ramenée à une simple application des règles du calcul algébrique ordinaire. On peut consulter, pour le développement de cette idée fondamentale, les deux traités t 1. 12

1 78 LIVRE n. — CHAPITRE IV.

spéciaux que ce grand géomètre y a consacrés, la Théorie des fonctions analytiques et les Leçons sur le calcul des fonctions.

Mais si ces deux ouvrages, à cause du nom imposant de leur auteur, ont été d'abord accueillis, par toute une génération déjeunes géomètres, comme fixant les bases de l'enseignement, un examen attentif a dû montrer qu'il s'y trouve un de ces paralogismes métaphysiques dans lesquels les plus grands maîtres peuvent tomber, lorsque la nature de leur sujet les force à sortir de l'analyse et de la synthèse scientifiques, pour entrer dans la critique des idées qui sont les matériaux mêmes de la science.

En effet, le développement en série n'a de sens que lorsqu'il mène à une série convergente, ou mieux encore lorsqu'il est démontré que le reste de la série tend sans cesse vers la limite zéro quand le nombre des termes croit indéfiniment. Toute induction tirée d'un développement en série non convergente manque de solidité, et peut conduire, comme des exemples le font voir, à des résultats fautifs. La méthode de Lagrange n'a donc point l'avantage d'éliminer la notion des limites ou toute autre équivalente. La nature des choses et les bis de l'entendement exigent ici l'emploi de l'une de ces notions auxiliaires, dont le simple développement par l'algèbre du principe d'identité ne peut tenir la place.

D'ailleurs, les raisonnements indiqués ci-dessus, et qui servent à justifier la forme attribuée à la série (k), outre qu'ils reposent sur un principe subtil et sujet à controverse» suivant que l'on regarderait l'ambiguïté des signes des radicaux comme le résultat d'une convention ou comme un fait nécessaire, ne peuvent en tous cas s'appliquer qu'aux fonctions algébriques : tandis que la théorie des fonctions, comme nous nous sommes attaché à le faire voir, doit essen-

tiellement comprendre les fonctions continues quelconques, et former un corps de doctrine qui subsiste indépendamment des applications à l'algèbre. Le développement en série n'est qu'un artifice de calcul, et ne peut convenablement servir à établir des lois et des rapports dont l'existence est indépendante de nos procédés artificiels.

106. On dit que la formule de Taylor tombe en défaut, lorsque la valeur particulière de x que l'on considère, rend infinie la fonction fa ou ses dérivées à partir d'un ordre quelconque. Alors, en effet, si la fonction f est algébrique, la fonction f (x-j-fc) est susceptible de se développer en une série qui contient des puissances négatives ou fractionnaires de fe, mais qui n'a de sens qu'autant que l'on peut faire converger indéfiniment vers zéro le reste de la série. Soit, par exemple,

f «-*)-' m désignant un nombre positif, et yx une fonction qui prend, ainsi que toutes ses dérivées, une valeur finie quand on y fait x = 1 . La fonction f{i -\-h) pourra se développer en série contenant des puissances négatives de h f car on aura

Si la fonction algébrique f ne devient pas infinie, mais que ses dérivées le deviennent à partir d'un ordre quelconque, il est clair que son développement ne peut contenir uniquement des puissances entières et positives de h : car alors ses dérivées pourraient se développer aussi suivant les puissances entières et positives de h, et, par conséquent, ne deviendraient pas infinies pour fe=0; tandis que, si le développement de la fonction proposée contient des puissances

fractionnaires et positives de h, telles que h f , et si m dési-

180 LIVRE n. — CHAPITRE IV.

gne le plus grand nombre entier contenu dans J, la différentîation amènera, dans le développement des fonctions dérivées de l'ordre m-f-1 et des ordres supérieurs, des puissances négatives de h.

Ce cas se présente toutes les fois que fx contient en

numérateur un radical de la forme (a — a)% et qu'on y donne à a; la valeur particulière a. Soit, par exemple,

fx^ZfX + $x.y or1— 4,

<f et ^ désignant des fonctions algébriques entières, qui ne s'évanouissent pas pour x=l : toutes les dérivées de fx à partir de la première, deviendront infinies pour la même valeur de #, et la formule de Taylor tombera en défaut. Mais si Ton substitue directement 1 -f- h à x, il viendra

et ainsi, en développant par la série de Taylor, suivant les puissances entières de fe, les fonctions

on obtiendra f ( 1 + h), exprimée par une série qui renferme des puissances fractionnaires de h.

Quand la première dérivée de fx qui devient infinie pour la valeur particulière x=a, est la dérivée de l'ordre i + 2, on peut employer la série de Taylor en l'arrêtant au terme affecté de h\ et en évaluant le reste R, par la formule (e) qui subsiste toujours, puisque f (*+1) n'éprouve point encore de solution de continuité du premier ordre ; ou en s'assurant, par la considération des limites de ce reste, qu'il est d'un ordre de grandeur tel qu'on puisse le négliger.

107. Lagrange emploie un raisonnement semblable à celui quia été indiqué ci-dessus [105] pour montrer à priori que la fonction f(x-{-h) doit renfermer dans son dévelop-

pement des puissances fractionnaires de fe, quand des valeurs particulières de x font évanouir les radicaux qui en-

trentdans/x. En effet, le radical (x — a)Monne à la fonction autant de valeurs distinctes, réelles ou imaginaires, qu'il y a d'unités dans le nombre entier q. Comme ce même radical se reproduit dans les coefficients différentiels de fx tant que x reste indéterminé, ces coefficients prennent eux-mêmes un nombre q de valeurs différentes. Ainsi il y a, à proprement parler, autant de fonctions f{x-\-h) et de développements distincts, que le radical dont il s'agit comporte de valeurs. Mais si l'on donne à x la valeur particulière a, le radical disparaît de tous les coefficients de la série de

Taylor

fa, fa, fa, etc.;

tandis qu'il subsiste dans la fonction f{a-{-h), où il est

devenu h9 . Donc la série, dans sa forme ordinaire, ne peut plus alors représenter la fonction, puisque celle-ci a plusieurs valeurs, tandis que la série n'en aurait qu'une: donc il fout que le développement de f{a+-h) contienne des

termes affectés du radical h9 .

Remarquons d'ailleurs qu'un radical contenu dans fx peut disparaître de deux manières distinctes pour des valeurs particulières àe x: 1° parce que la quantité sous le signe radical devient nulle ; 2° parce qu'un facteur affectant le radical s'évanouit. Ce dernier cas ne doit point, d'après les mêmes principes, faire exception à la formule de Taylor. Soit en effet

(x — at)m (x — a)*

t ub terme-qui introduit dans fx le radical (x — a)': ce terme

disparaissant pour la valeur x=ai9 laquelle fait évanouir

le facteur (# — a%)m. Comme l'exposant du binôme x — a,,

182 LIVRB H. — CHAPITRE IV.

supposé entier et positif, diminue drune unité à chaque différentiation, il y aura, dans les dérivées de fx de Tordre m et des ordres supérieurs, des termes où ce binôme cessera

d'affecter comme facteur le radical (x — a) f ; d'où il suit que le développement par la série de Taylor de la fonction f (at -f h) , prolongé au moins jusqu'au terme de rang m-\-\ inclusivement, conserve autant de valeurs distinctes que le

radical {x — a) f en attribue à f {ax -f- h) .

Une faut pas conclure de ce qui précède, avec quelques auteurs, qu'en pareils cas la série de Taylor doit au moins être prolongée jusqu'au terme inclusivement où reparaît le

radical {x — a) f : car ce radical subsiste toujours, avec la multiplicité de ses valeurs, dans l'intégrale définie qui exprime la valeur du reste R„ quelle que soit la valeur de l'indice i; et il faut toujours tenir compte du reste de la série pour donner de la rigueur aux raisonnements.

On voit, par exemple, que, si le facteur qui affecte le radical était une fonction transcendante de la nature de celles indiquées ci-dessus [102], qui deviennent nulles, ainsi que toutes leurs dérivées, pour certaines valeurs de #, le raisonnement de Lagrange ne serait plus applicable ; et l'identité entre le développement et la fonction développée ne pourrait subsister qu'autant qu'on arrêterait la série d'un terme quelconque, en tenant compte du reste.

1 08. Lorsque la fonction fz ou ses dérivées, à partir d'un ordre quelconque, éprouvent une solution de continuité du premier ordre, non plus pour la valeur initiale z=x, mais pour une valeur z=a comprise entre z=x et z=x -f- h, la formule de Taylor, dès l'instant qu'on y fait fe=ou > a — x, doit être inapplicable, aussi bien que si la solution de continuité se rapportait à la valeur initiale : cependant la métaphysique de Lagrange ne s'applique pas à ce cas, et Ton