Si l'on fait dans la formule (B) x=0 , ce qui donne

/l = /(0)+*r(0)+^.r(0)+f^.r(0)+ete.,

et qu'on écrive ensuite x au lieu de fe, il viendra

^==/(a) + ï./'(0)+^.r(0) + T^1.r(0)H.etc.,. (G)

en sorte qu'on aura résolu de la manière la plus générale le problème qui consiste à transformer une fonction quelconque en série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable. On pourrait trouver très simplement la loi de cette série par la méthode connue des coefficients indéterminés, sans passer par la formule de Taylor. Admettons, en effet, que la fonction fx soit susceptible de se développer en série convergente procédant suivant les puissances entières et ascendantes de a?, et posons

fx = A + Bx + Cx* + Dxf + etc.:

on aura, en différentiant,

fx = B +%Gx + 3D*1 + etc., f"x= 2C + 2.3Da? + etc., /"xszî.a.D-i-etc., etc.

Faisons dans toutes ces équations, x=0 : il viendra

A=no),B=mc=4no>, D-irw, etc.

C'est par ce procédé (dont on ferait pareillement usage pour établir la loi delà série de Taylor) que Maclaurin a obtenu la formule (C), qui porte encore son nom, quoiqu'on ait revendiqué dans ces dernières années la priorité de la découverte en faveur du géomètre Stirling. D'ailleurs, on ne doit pas regarder cette formule comme essentiellement distincte de celle de Taylor : seulement la formule de Taylor a plus de généralité, en ce qu'elle subsiste tant que x et h conservent leur indétermination, et ne tombe en défaut, d'une manière ou d'une autee, que pour des valeurs particulières attribuées à ces lettres ; tandis que la formule de Maclaurin n'est applicable qu'autant que la fonction fx n'éprouve pas de solutions de continuité, pour x=0.

La série de Maclaurin doit, comme celle de Taylor, et par la même raison, être complétée par un reste. Soit r, le reste de la série de Maclaurin, arrêtée au terme de rang t+1 , en sorte qu'on ait

l'expression de r, en intégrale définie sera évidemment, d'a- * près ce qui précède, donnée par l'équation

la valeur de rt tombera entre

/wc**"1 qx*+l

4.8.3.. .(t + 4) i. 3. 3. ..(t + 4) p, q désignant la plus petite et la plus grande valeur du f\i+V (x — z), entre les limites z = 0, z = x, ou celles de fP-H) z entre les mêmes limites.

Si Ton désigne par 0 , 0i des nombres compris entre 0 et 1 on aura encore pour r< ces deux expressions

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