FORMULE DE MÀCLAURIN ET SES APPLICATIONS

Ces explications pouvant suffire, nous allons passer à l'application remarquable que l'on fait de la formule de Maclaurin au développement des fonctions logarithmique, exponentielle et circulaires.

H 0. Si nous voulions développer la fonction log x suivant les puissances positives et ascendantes de x, nous trouverions que cette fonction et ses dérivées des divers ordres deviennent infinies pour x=ù, en sorte que la série de Maclaurin tombe en défaut. Mais en prenant

fx = log(* +x), et en supposant toujours, pour plus de simplicité, qu'il s'agit d'un logarithme népérien, nous trouverons

™ = rT*'r* = -(ÏT^'r*=ôT^'

suivant que i est pair ou impair ; d'où

W* X9 Xk X*

log(4 + x)=x — - + --—+-- etc., (0

série convergente, tant que x est compris entre — 1 et-f- i . A la limite supérieure #=1 , la série est encore convergente; car on a

log* = <-l+i-i+i-etc, U)

et l'on sait que toute série dont les termes, alternativement positifs et négatifs, vont en diminuant, est nécessairement convergente [26].

Si l'on fait x = — 1 , ; il vient

togo=-|i+i + i + t + ! + *,}.

On sait que zéro a pour logarithme l'infini négatif : donc la série , , K ,

4+i + 3 + »+5 + etC- •

est divergente, ce qui se démontre d'ailleurs directement. On a

lo* (rSD =log (* + *) log ( *~9)

*+T + y + y +etc. |. (*) Si Ton fait ensuite

= 4 -h-, d'où*:

4— « n* Sfi+ v'

il viendra :

log H + «J = log(~ J = log (n+»)- log v

Cette dernière série est toujours très rapidement convergente pour des valeurs entières des nombres n et v, et elle fait connaître le logarithme du nombre n-f- v quand celui de n est connu. On ne calculera, bien entendu, par le moyen de cette série que les logarithmes des nombres premiers : les autres s'obtiendront par de simples additions ; et pour cela on aura soin de calculer les logarithmes des nombres premiers avec un plus grand nombre de décimales qu'on n'en veut conserver dans la table.

Supposons n=i , v=l : comme le logarithme de l'unité est zéro, on aura

l0g2 = 2(5+3lî + Oi+7^ + etC-> série bien plus rapidement convergente que la série (j), et dont il suffit de calculer un petit nombre de termes pour trouver.

log « = 0,693U748

Par conséquent

log 4 = 4,38629436

En faisant dans la série (/) n=4, v=l , il vient