FORMULE DE MACLAUR1N ET SES APPLICATIONS

logS^logi^^+^+^+J^+etc.),

d'où

log 5 = 4,60943794

Le troisième terme de la série n'influe déjà plus que sur le chiffre de Tordre des millionièmes, et le cinquième serait tout à fait insensible dans le calcul des tables ordinaires.

La somme des logarithmes de 2 et de 5 donne lelogarithme népérien de 10, égal à 2,30258509

En divisant par ce nombre l'unité qui est le logarithme vulgaire de 10, on a [64] le logarithme vulgaire de e, ou le module des logarithmes de Briggs, égal à 0,4342944819...

Avec ce module on forme les logarithmes vulgaires de tous les nombres premiers dont on a préalablement calculé les logarithmes népériens.

L'analyse fournit des méthodes encore plus expéditives pour calculer les logarithmes ; mais toutes ces méthodes, y compris celle dont nous venons de donner une idée, n'ont été imaginées que lorsqu'on possédait depuis longtemps des tables calculées par des procédés bien plus laborieux.

111. Toutes les dérivées de la fonction e* étant identiques avec la fonction primitive, se réduisent comme elle à l'unité pour x=0. En conséquence la formule de Maclaurin donne * = 1 +- + — + — 1 1 h etc., (m)

série qui finit toujours par converger, quelle que soit la valeur attribuée à #. En effet [26], si l'on désigne par y, le terme de cette série qui en a t avant lui, il viendra

yi « + i f rapport qui convei*ge indéfiniment vers la limite zéro, quel que soit x quand i prend des valeurs de plus en plus, grandes.

En faisant #=i , nous retrouverons l'expression du nombre e en série, telle qu'on l'a déduite de la formule du binôme [61].

D'après les formules (d) du nQ 67 on trouve aussi x x* t x* x1

Ces séries très remarquables données par Newton jouissent, comme la série (m) de la propriété d'être toujours finalement convergentes, quel que soit x, en sorte qu'elles s'étendent aux arcs qui surpassent la circonférence ou un nombre quelconque de circonférences. On pourrait s'en servir pour calculer des tables de sinus et de cosinus naturels, dont on calculerait ensuite les logarithmes au moyen de la série (i) ; mais c'est par des méthodes plus élémentaires qu'ont été effectivement construites les tables trigonométriques pour les besoins de l'astronomie, bien avant le siècle de Newton.

Les séries (m), (m,), (mf), étant convergentes pour toutes les valeurs de x, rien n'empêcherait de partir de ces séries et de poser à priori

fx = 1 — — + — — — +etc; 1.4 1.2.3.4

puis, de déterminer les propriétés des fonctions <J/, f, /*, d'après les propriétés des séries convergentes dont elles sont les sommes, on trouverait ainsi

*(0)=l,f(0) = 0,flO)=H; |

^ x = yftx, fa? = /ic,/,fx = — fx; J

et de ce système d'équations on pourrait, comme on l'a in-