FORMULE DE MAGLAURIN ET SES APPLICATIONS

diqué au chapitre II, déduire toutes les propriétés des fonctions <(s f, f. Les équations (n) donneraient même directement ces propriétés, sans qu'on eût besoin de passer par Fintennédiaire des équations (o). Ainsi l'on trouverait, par la forme même des séries,

ï(x\T^=fx + lx.^=^ f (— ari/— 0 = /ïr— foV— 4,

(îxy+{fxy = h, '(* ■+• y) = fo-fy + fy fa> etc.

Mais quoique cette marche soit logiquement rigoureuse, elle ne nous semble pas convenable dans une exposition didactique où Ton doit surtout rechercher l'enchaînement rationnel des théories. En général, les fonctions sont caractérisées dans l'ensemble de leur cours, par la loi de leurs accroissements différentiels; et ce n'est que sous de certaines conditions qu'elles peuvent être exprimées (aussi dans toute l'étendue de leur cours), par des séries convergentes pour toutes les valeurs; de la variable (1).

112. Dans les applications qui font l'objet des deux numéros précédents, nous n'avons fait que constater la convergence de la série de Maclaurin. A la rigueur, on est tenu de prouver directement que ces développements convergents ont pour sommes les fonctions développées, ou que le reste r, tombe au-dessous de toute grandeur donnée, pour des valeurs convenables de t. Or, le reste r,, dans les développements (i), (m), (mt), (m,), est exprimé par

=p(i + \)(* + 6xy+1' 4.2.3...(tH-4)* 6 '

(4) M. Cauchy a cherché les conditions de la convergence du développement d'une fonction suivant les puissances entières et positives de la variable indépendante. Cette question importante, qui a beaucoup occupé les mathématiciens, a été reprise dans ces derniers temps par MM. Briot et Bouquet, et traitée d'une manière complète (Journal de V Ecole polytechnique, 36* cahier).

190 LIVRE il. — CHAPITRE IV.

Le3 deux dernières expressions donnent pour la valeur numérique du rapportât! , une fraction qui peut tomber audessous de toute grandeur donnée, quelque soit x pourvu qu'on prenne pour i un nombre suffisamment grand. La même condition est satisfaite, à l'égard de la première expression de r„ dès qu'on prend pour x un nombre positif. 113. On tire de la formule (/) du n° 75

V-* M— v/— 4. tang a?/' et en développant le logarithme par la formule (&), x = tang x — $ tang8 x + \ tang1 x — } tang7 x + etc. . (p)

Cette dernière série a été donnée par Leibnitz. La convergence ne subsiste, et par conséquent la série n'est applicable que pour les valeurs de tang x comprises entre — 1 et-j-1 , ou pour les valeurs de x comprises entre — \ ir et -f- \ rc, quoique la fonction tang x reste continue entre les limites x = — {n et#=i7r.

À la limite x = Jtt, la série (p) est encore convergente, et

il vient

4 = '-3 + 5-7+etC-; mais la convergence est trop lente pour que cette série puisse servir à calculer commodément la valeur du nombre transcendant 7c. Si Ton prend pour x l'arc de 30° dont la tangente

est ■—* , la formule donnera y 6

6~V/3 V ~3l + 5T»"7T» + etCV * C'est par cette dernière série que Lagny a calculé le nombre 7r avec 127 décimales. On connaît d'ailleurs d'autres dé-