FORMULE DE MACLADRIN ET SES APPLICATIONS
veloppements propres à donner beaucoup plus rapidement en* core là valeur de n.
On tire de la formule (i) : -
log x = log (^pî) = log 0 + x) — log(l + -)
À la vérité, cette nouvelle série, est divergente pour toutes les valeurs réelles de x ; mais, si nous donnons à x la valeur imaginaire e**'3*, on aura
4 «wIXZï — m%V^=v
logx=zv/— *>&* =e — e = 2 v/— 4 .sinmz ;
xm
et par suite la formule précédente deviendra, après qu'on
aura divisé par 2 l/^T,
- z = sin z — - sin 2z + -sin 3z — - sin 4z + etc. :
Cette nouvelle série est évidemment convergente, quel que soit z ; mais elle n'a pour somme \ z que quand la valeur de % est comprise entre les limites — j rc, + \ ir. Le lieu géométrique de l'équation
y = sinar — -sinfcc +rsin 3a? — -sin 4» + etc.. (q)
serait un système de portions de droites parallèles
MtNt, MN, BTN', BTN*, {fig. 35)
ayant respectivement pour équation en termes finis [37] : 4 4 1 1
Les points N, M', ont pour abscisse commune 0 P==rr ; mais l'équation (ç), quand on y fait #==*, ne donne pour la valeur dey, ni l'ordonnée P N, ni l'ordonnée P M', égale et de signe contraire. On tire de cette équation t/=0, c'est-à-dire
une valeur de y égale à la demi-somme des ordonnées P N, P M'. La môme chose arrive quand on prend pour x un multiple positif ou négatif de n [38]. Nous reviendrons dans la suite sur cette particularité essentielle du développement des fonctions discontinues ; et nous retrouverons l'équation (g) comme un cas particulier de formules beaucoup plus générales.
1 14. Le développement d'une fonction en 'série procédant suivant les puissances de la variable, conduit au développement des fonctions en séries d'exponentielles : car, soit fx la fonction proposée : si Ton fait
x = log z, ou z = e* ,
elle deviendra f (log z)— Fz, et pourra, en général, se développer suivant les puissances de z. Soit A z" un terme du développement ; quand on y mettra pour z sa valeur, ce terme prendra la forme A c"Mr ; et ainsi la fonction fse trouvera développée en série d'exponentielles.
