CHAPITRE PREMIER
DES FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPEN- DANTES, ET DE LEUR DIFFÉRENTIATION. — NOUONS SUR LES SOLUTIONS DE CONTINUITÉ DES FONCTIONS DE DEUX ET DE TROIS VARIABLES.
115. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions d'une seule variable, c'est-à-dire, des grandeurs dont la valeur est déterminée par cela seul qu'on assigne la valeur d'une autre grandeur variable dont elles dépendent; mais plus généralement la valeur d'une quantité dépend des valeurs que prennent plusieurs autres quantités susceptibles de varier, chacune séparément et indépendamment des autres : ce qu on exprime en disant que la première quantité est une fonction de plusieurs variables indépendantes.
Ainsi T intensité de la pesanteur terrestre varie avec la hauteur du corps pesant au-dessus du niveau des mers, et elle varie aussi avec la latitude. Ces variables sont indépendantes ; car on peut concevoir que la hauteur change sans que la latitude varie, et réciproquement. Si la figure de la terre s'écartait t. i. 13
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sensiblement de celle cl' un sphéroïde de révolution, l'intensité de la pesanteur varierait encore avec la longitude, et deviendrait une fonction de trois variables indépendantes.
Quand un corps solide et homogène, primitivement échauffé d'une manière uniforme, se refroidit, la température en chaque point de la masse varie avec le temps : elle varie aussi, au même instant, d'un point à un autre ; car les molécules voisines de la surface par où la chaleur se dissipe, doivent arriver à une température rapprochée de celle du milieu ambiant, plus tôt que les molécules placées dans la partie centrale du corps. La température en chaque point de la masse est donc une fonction de quatre variables indépendantes, savoir, du temps écoulé depuis l'origine du refroidissesement, et des trois coordonnées qui fixent la position du point dans l'intérieur du corps.
On pourrait multiplier indéfiniment ces exemples, et il est facile de reconnaître que, dans la plupart des phénomènes naturels, chaque quantité mesurable dépend de beaucoup d'autres quantités susceptibles de varier séparément. Mais, afin de simplifier les questions et de les rendre accessibles au calcul, on considère les cas où ces quantités reçoivent des valeurs fixes, ou sensiblement fixes, à l'exception d'une, de deux, de trois d'entre elles ; et alors les quantités dépendantes deviennent fonctions d'une, de deux, de trois variables.
Ponr exprimer qu'une quantité m est fonction de plusieurs variables x, y, 2, on emploie la notation
et si l'on voulait indiquer qu'il entre en outre des constantes ou des paramètres a, b, c, dans la déterminanation de la fonction, on écrirait
Par rapport à chacune des variables dont elle dépend, une fonction peut être mathématique ou empirique, algébrique* ou transcendante , rationnelle ou irrationelle , entière ou fractionnaire, linéaire ou non linéaire, etc. ; il n'y a rien à ajouter aux explications que nous avons données sur ces diverses classes de fonctions, en traitant des fonctions d'une seule variable.
Quand la fonction u est définie mathématiquement par une équation
non résolue par rapport à u, la fonction est implicite: elle devient explicite après qu'on a résolu l'équation par rapport au.
116. Une fonction de plusieurs variables, qui n'a pas, ou à laquelle on ne connaît pas d'expression mathématique, est censée connue, pour les valeurs des variables indépendantes comprises entre des limites assignées, au moyen de tables qui donnent les valeurs de la fonction, correspondant à autant de systèmes de valeurs très rapprochées, assignées aux variables indépendantes. Mais la construction de ces tables n'est réellement praticable que pour les fonctions de deux variables seulement. Soient
Vi> y%> y*> y.-i> y-;
deux séries de valeurs de x et de t/, suffisamment rapprochées, et désignons par ukk la valeur de la fonction u qui correspond au système (x„ yk) : les valeurs de m, correspondant à toutes les combinaisons qu'on peut former entre les valeurs de x et celles de t/, comprises dans les deux séries ci-dessus, pourront, pour la commodité des recherches, être disposées en tableau comme il suit :
Xt
«.-ii
«Il
de manière que la valeur ukk se trouve dans la bande verticale, en tête ou à Centrée de laquelle figure x„ et dans la bande horizontale à gauche ou à rentrée de laquelle figure yk. Une table ainsi construite se nomme une table à double entrée. La table de Pythagore est l'exemple le plus connu d'une table à double entrée. Une table de logarithmes est de sa nature à simple entrée, comme toutes celles qui comprennent la série des valeurs des fonctions d'une seule variable ; mais par la manière dont on a disposé les tables ordinaires pour en diminuer le volume, on les a artificiellement converties en tables à double entrée.
Une fonction de trois variables indépendantes x, y, z pourrait être donnée au moyen d'une table à triple entrée, dont on se fera une idée en imaginant l'espace partagé en cases cubiques par trois systèmes de plans parallèles dont chacun coupe à angles droits ceux des deux autres systèmes; et en supposant qu'on inscrive dans chaque case une valeur de la fonction h, de manière que la valeur «M,, se trouve audessus de la case uM du précédent tableau, supposé horizontal, et dans l'assise horizontale pour laquelle la variable z a la valeur z,. S'il y avait plus de trois variables indépen-
dantes, on ne pourrait plus imaginer de disposition géométrique analogue, propre à coordonner dans l'espace toutes les valeurs particulières de la fonction qui en dépend.
117» La fonction f (x, y, z, ), mathématique ou
empirique, doit en général être continue, pour les raisons que nous avons indiquées en parlant des fonctions d'une seule variable; et de cet attribut de continuité dérivent des conséquences importantes, indépendantes de la propriété que les fonctions peuvent avoir, da s'exprimer par des formules mathématiques.
La continuité dont jouit la fonction n'empêche pas qu'elle ne puisse éprouver des solutions de continuité, ou pour des systèmes de valeurs particulières
a? = f, y=p, z = ç,etc.;
ou pour des systèmes de valeurs qui, sans être individuellement déterminées, satisfont à certaines conditions particulières.
9 {*> y, h- • • •) = 0, + {x, y, z. . . .) = 0, etc.; mais avant de s'occuper de ces solutions de continuité, il convient d'étendre aux fonctions de plusieurs variables la théorie des dérivées ou des variations infiniment petites. 118. Considérons, en premier lieu, une fonction de deux
variables
et supposons que x et y prennent les accroissements A xy A y ; la variation correspondante de z sera
nz=f(x + *x, y + by)—f{*,y)> et nous- pourrons la mettre sous la forme *z = \f(x + to,y)—f[x, y)] + /> + &, y +*y) -f(x+Ax,y), de manière que la quantité isolée par des crochets soit la valeur qu'aurait prise la variation Az~ st x seul avait varié.
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Nous pourrons mettre encore l'expression de A z sous la
forme
f(x + àx,y) — f(x,y)
bz — . Sx
àx
f(x + *xJy + ày)—f(x + àx,y)
Ay.
Admettons maintenant que les différences Ax, A y s'approchent indéfiniment de zéro : le rapport
f{x fAa?, y) — f(x,y)' &x aura pour limite p (x, y) cette notation désignant la dérivée de f (x, y) par rapport à la variable x. Et si nous désignons par ft (x, y) la dérivée de f (#, y) que Ton obtient en traitant y comme la variable, le rapport
convergera vers la limite pt (x+Ax, y) quand A y deviendra de plus en plus petit.
Enfin cette dernière limite, dont la valeur varie avec Ax, convergera à son tour vers la limite fÊ (x, y) quand A x convergera vers zéro.
Donc en désignant par dxr dyy dz des valeurs infiniment ' petites de Ax, Ay, Az, on aura
dz = f {x, y) dx + ft (x, y) dy.
Mais d'un autre côté, si nous désignons par dj> la différentielle de z dans l'hypothèse ou x varierait seul, et par dp la différentielle de z dans l'hypothèse opposée où y serait seul variable, on aura, selon les principes de la notation diffétielle, . d.z d,z
et, par conséquent,
dz désigne alors une différentielle totale, djz, d^z sont des différentielles partielles;
dMz d9 z dx' dy sont des coefficients différentiels partiels, ou des dérivées partielles.
L'usage a fait prévaloir la dénomination de différences partielles sur celles de différentielles partielles , qui est plus régulière, mais moins euphonique. Cet usage provient de ce que les géomètres du siècle dernier substituaient communément à l'expression de différentielle celle de différence, en sous-entendant la qualification d'infiniment petite.
La formule (1), telle que nous venons de l'écrire, n'offrirait aucune ambiguïté : mais en pratique l'emploi des indices au bas des caractéristiques de différentiation occasionnerait des embarras et souvent des fautes d'écriture ou d'impression. On préfère écrire simplement
et l'on ne craint point de confondre le dz (différentielle totale qui est au premier membre de l'équation, avec les ^(différentielles partielles) qui figurent aux numérateurs des coefficients différentiels dans le second membre.
Rappelons-nous en effet que les différentielles ne sont que des symboles auxiliaires, employés dans le cours des combinaisons analytiques pour parvenir à des coefficients différentiels qui sont des fonctions numériquement déterminées, dès l'instant que l'on assigne des valeurs numériques aux variables dont elles dépendent. Or, tant que les variables x, y sont indépendantes, et que les variations dx, dy ne se trouvent liées par aucun rapport, les rapports de la différentielle totale dz à dx ou à dy, savoir :
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dx dy'dx' Hx'dy Hy' sont indéterminés. Les expressions
dz dz dx9 dy
n'auraient donc aucune valeur déterminée si, par le dz qui figure aux numérateurs, on devait entendre une différentielle totale ; et le calcul, appliqué à des questions susceptibles d'une solution déterminée, ne doit pas les amener.
Néanmoins, pour plus de clarté, quelques analystes écrivent, à l'exemple dT2uler et de Laplace, les coefficients différentiels partiels entre parenthèses , de la manière suivante :
mais d'ordinaire An regarde ces parenthèses comme superflues.
119. La formule (2) s'étend, sans aucune difficulté, aux fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Ainsi l'on a, pour u=f (x* y, z, f, )
, du . du , du , , du , M tmit
Il en résulte que, si Au, Ax, Ai/, As, Af, etc., désignent des variations très petites du premier ordre, on a, aux quantités près du second ordre et des ordres supérieurs, du du du du
du moins tant que les dérivés partielles du du du du Tx> Ty' Tz' dt' etc'
ne prennent pas de très grandes valeurs qui rendraient le» fractions
1 < * * etc
au au au au
dx ^y dz ~3t
comparables pour leur petitesse à àx, Ay , As, àt, etc. [45].
Donc, si une fonction dépend de quantités qui éprouvent des variations très petites, positives ou négatives, la variation totale de la.fonction est sensiblement égale à la somme algébrique des variations que cette fonction aurait subies dans sa valeur, si chacune des quantités dont elle dépend eût varié seule.
Le principe de la superposition des mouvements très petits, qui joue un rôle si important dans l'explication des phénomènes physiques, et sur lequel reposent les théories modernes du son et de la lumière , n'est lui-même qu'une conséquence du principe que l'on vient d'énoncer, et que Ton pourrait appeler le principe de la superposition des petites variations. Si Ton rapproche ce principe de celui de la proportionnalité des petites variations [5] , on comprendra comment un nombre borné d'expériences fourniUes moyens de calculer les variations d'une quantité qui dépend de plusieurs autres suivant une loi empirique et inconnue , pourvu que les variations de ces dernières quantités soient renfermées dans des limites étroites. Car il suffira, à la rigueur, d'observer les valeurs de Au pour autant de systèmes de valeurs de Ax, Ai/, Az, Af, etc., qu'il y a de dérivées partielles à déterminer numériquement dans l'équation (4); et ensuite cette équation donnera Au en fonction linéaire de As, by, etc., pour des valeurs très petites, mais d'ailleurs quelconques, de ces variations. L'art des observations consiste à observer dans des circonstances qui permettent de déterminer ces coefficients inconnus avec la plus grande précision; et la théorie des chances fournit à ce sujet des indications que nous n'avons pas à rappeler ici.
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120. La démonstration de la formule (2) ou de la formule (3), qui est une généralisation de la première, n'exige point que les variables x, y, s, etc., soient indépendantes. Nous l'avons supposé pour plus de généralité ; mais rien n'empêche de considérer toutes les variables #, yy etc., ou quelques-unes d'entre elles, comme des fonctions d'une nouvelle variable indépendante v ; ou bien encore de supposer que plusieurs de ces variables (y et z par exemple) sont fonctions de x. Alors u sera fonction de x sous un double rapport : immédiatement, en tant que x entre dans l'expression de u ; médiatement, en ce que u est une fonction des grandeurs y et 2, qui sont elles-mêmes des fonctions immédiates de x. Il faudra remplacer dans la formule (3) les termes
du , du , dy * dz par
/du dy , du dz\ \dy'dx^dz'dx)dXf
et ainsi pour tous les cas semblables.
On profite de cette observation pour faciliter la différentiation des fonctions mathématiques d'une seule variable, quand l'expression en est compliquée. Si, par exemple, on avait à différentier la fonction
V K-fx — yh—x on pourrait poser
l/T+x = y, |/4 — a? = z% d'où
, dx , dx
On aurait d'un autre côté
y-z ce qui donne
du y* — 2yz du y*
dy~ (y- s)1' d%—(y-zy Si Ton substitue ces valeurs dans la formule
. du du . (du dy , du d%\ ,
on trouvera
dtt=(4^'-5FFb)i)^
et après qu'on aura remplacé les variables auxiliaires y, z
par leurs valeurs en x,
du «=» y — ■ /?r
121. Dans les applications du calcul aux phénomènes naturels, lorsqu'une fonction u dépend d'une certaine grandeur t, à la fois immédiatement et médiatement, il est quelquefois, non-seulement commode, mais indispensable , de considérer séparément dans la variation de u la part qui provient immédiatement de la variation de t, et celle qui provient de la variation d'une quantité v qui elle-même est fonction de t. Pour fixer les idées par un exemple sur cette double dépendance, imaginons une particule matérielle mue dans l'espace par l'action qu'elle éprouve de la part d'un corps électrisé. L'intensité de la force motrice est une fonction immédiate du temps l, parce que la charge du corps électrisé éprouve une déperdition continuelle , et une fonction médiate de la même variable, en ce qu'elle dépend des coordonnées du point en mouvemejit , qui changent d'un instant à l'autre. Les questions les plus délicates de la théorie des mouvements des corps célestes tiennent à des distinctions de ce genre entre les diverses parties de la variation d'une fonction, que l'on doit considérer comme autant d'effets séparés de la variation d'une même variable. En pareil cas, le coefficient différentiel Jl peut avoir des valeurs
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différentes et toutes définies , soit que Ton considère du comme une différentielle totale ou comme une différentielle partielle. Il faut convenir alors de certaines notations propres à lever toute ambiguïté ; mais il n'y a pas de règles générales à cet égard.
122. La formule (3) sert à démontrer une relation connue sous le nom de théorème des fonctions homogènes. En un sens purement algébrique , on dit qu'une fonction f(x,y,z, ), est homogène si Ton a, quel que soit 0,
f(ex9 ey, h9. . . .) = rfix, y, *,. . . .). En prenant les différentielles des deux membres par rapport à 0, on aura cette autre identité
d.f(ex,ey,ezt...) ^dQ d.f(ex,ey,ez,...) dx "■ dy y
+ d-neX>2'OZ>'-')zdQ + etc.=nr-> de.ftx, y, *,...). Divisons par dO et faisons ensuite 9=1 : il viendra
Cette dernière formule est l'expression analytique du théorème des fonctions homogènes.
