Reprenons la fonction à deux variables indépendantes

sz=f (x, y).

Si nous désignons par A,z, A^z les variations partielles que subit cette fonction quand on augmente x de Ax sans toucher à y, ou y de Ay sans toucher à x, nous aurons

*,z=zf(x+*x,y)—f(x,y).

Les variations que les deux membres de cette équation subissent, quand on y remplace y par y+Ay, doivent être exprimées par

à9àMx = f(x + *x,y + Ay) — f{x + *x, y)

- A*, y + àv) + A*, y)-

La symétrie du second membre de cette équation , par rapport aux variables x, y, exige que Ton ait

A A arzr A A %

quels que soient les accroissements A#, Ay. On en déduit, en divisant par Ax.Ay,

*y ~~ àx * et en passant à la limite,

dx __ dy dy dx

Dans une formule telle que celle-ci, on admet que la nature et l'ordre des différentiations partielles sont indiqués suffisamment par la présence et par Tordre de succession des facteurs dx, dy qui figurent aux dénominateurs. En conséquence, on écrit dd% ^ ddz

dydx dxdy ' ou plus simplement encore

dydx dxdy Le principe qui vient d'être établi s'applique à toute espèce de fonctions continues, et doit toujours se vérifier, numériquement ou algébriquement. Prenons, par exemple ,

on a

Soit encore il vient

% = arc tang '

dx y dz X

dx~~x%+yt9 dy~~ x*+yt*

dydx dxdy (x% + y*)* '

206 LIVRE Hl. — CHAPITRE I.

dz %xy dz x* (4 —y')

,dx~i + y*' dy~ (1 -*-y»)« ' tf'* d*z gs(*-y') rfyrfrr rfa?dy 0+y*)* L'identité des deux membres de l'équation (5) une fois établie, il en résulte que, dans une expression de la forme

dmd,d% u,

on peut intervertir Tordre de deux indices consécutifs quelconques, et, à l'aide d'une ou de plusieurs interversions semblables, faire dans Tordre des indices ou des différentiations successives toutes les permutations possibles sans rien changer au résultat final. Le raisonnement est le même que celui qu'on emploie dans les éléments d'arithmétique pour prouver que Ton peut, sans changer la valeur d'un produit de plusieurs facteurs, intervertir de toutes les manières possibles Tordre des multiplications successives , après qu'on a prouvé préalablement que le produit des deux facteurs ne change pas, quel que soit celui des deux facteurs que Ton considère comme multiplicande ou comme multiplicateur.

124. Au moyen du théorème qui fait l'objet du numéro précédent, on trouve sans difficulté l'expression des différentielles totales des divers ordres, pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes. En différentiant par rapport aux deux variables x. y les deux membres de Téqua-

tion

, dz. dz .

a z = — a x 4- -T- dy, dx dy *'

où-^|, ^désignent des fonctions de x, y, et où dx, dy

peuvent être traités comme des facteurs constants, puisque x, y représentent des variables indépendantes, on a

fd}~ d*Z \ f d*Z dxZ y \

dz , 4 , ' d*z d*z , n

= diïdx+*dW/xd«+W'dy-

Le cPz du premier membre indique une différentielle totale du second ordre : les expressions

dp' dxdy' dy* désignent les trois coefficients différentiels partiels, ou les trois dérivées partielles du second ordre, qui sont en général des fonctions déterminées des deux variables indépendantes x, y ; mais qui peuvent accidentellement ne contenir qu'une de ces variables, ou se réduire à des constantes, ou même, pour certaines valeurs des variables x, y, rester indéterminées, comme nous le verrons en son lieu.

En poursuivant ce calcul, on trouverait pour la différentielle totale de Tordre », d'une fonction de deux variables indépendantes a:, y, . d"z . n d"z , n(n— h) dmZ , ,, .

dxm h dx-1 dy 1.2 dx-*dy* '

expression évidemment analogue à la formule du binôme, qui se démontrerait par induction de la même manière, et qu'on peut écrire sous la forme symbolique

dmzi=:{ — .dx* — . dy ) d*z.

\dx dy yl

On indiquerait de môme la loi du développement de la différentielle totale de l'ordre n, d'une fonction u des variables indépendantes x, y, z, *, par l'équation symbolique

dmu =r — -. dx + — . dy + -~ . dz + elc. rf" u. \dx dy dz I

Nous avons déjà indiqué [43] la raison de ces analogies entre le développement des puissances, et celui des différences finies ou infiniment petites.

On appelle équations aux différentielles partielles , ou plus ordinarement [118] équations aux différences partielles , celles qui ont lieu entre des variables indépendantes, les fonctions qui en dépendent, et les dérivées partielles, ou les coefficients différentiels partiels de ces mêmes fonctions. Par opposition , on nomme équations différentielles ordinaires, ou simplement équations différentielles celles dans lesquelles n'entrent que des coefficients différentiels, comme ceux dont il a été question dans la théorie des fonctions d'une seule variable. L'ordre d'une équation aux différences partielles est celui du coefficient différentiel de l'ordre le plus élevé, parmi ceux qui entrent dans la composition de l'équation. La forme la plus générale d'une équation aux différences partielles du premier ordre, entre les deux variables indépendantes x, y et la fonction z, est

/ dz dz\

celle d'une équation aux différences partielles du second ordre entre les mêmes variables ;

/ dz dz d*z d*z d*z\

f\X'y'*'dï'&dï*'^'w)-0;

et ainsi de suite.

On entend par Calcul des différences partielles la branche de la théorie des fonctions où l'on traite des rapports entre les fonctions de plusieurs variables indépendantes et leurs coefficients différentiels ou dérivées partielles , et généralement des équations aux différences partielles des divers ordres.

Quand on se borne à considérer (comme cela a presque

toujours lieu dans les applications à la géométrie) deux variables indépendantes x, y et une fonction z de ces deux variables > on trouve commode de désigner par une seule lettre chaque dérivée partielle des trois premiers ordres , dont l'emploi revient souvent ; et dans ce but nous adopterons, d'après Monge, la notation suivante :

dz dz

d*£ J^* d*z T~ 5x*' *~~dxdy' t~dp;

dH d*z d*z d*z

U dx%' m~dxrdy' W~dïdjp' V~dy*; ou

dz = pdx + qdyf

d%z = r dx% + is dxdy ■+■ t dy*9

d%z = u dx* + 3iu dx*dy -f Sw dxdyf +- v dy*.

Suivant cette notation, les équations aux différences partielles du premier et du second ordre , entre les trois variables x, y, z, seraient désignées d'une manière générale par

125. D'après la conception de Descartes [1], dont l'extension à la géométrie dans l'espace est censée connue de nos lecteurs, la fonction z=f(x, y), réputée continue, peut toujours représenter l'ordonnée d'une surface courbe, rapportée à trois axes que, pour plus de simplicité, il convient de prendre rectangulaires. Les valeurs des dérivées/), ç, r, s, t ont, avec la direction du plan tangent, et avec certains caractères géométriques de la surface, des rapports dont la discussion viendra lorsque nous traiterons spécialement de l'application de l'analyse différentielle à la géométrie aux trois dimensions. Quant à présent, nous cherchons au con- I. U

traire de quelle utilité peuvent être les conceptions géométriques pour l'intelligence de la théorie des fonctions.

Or, à ce point de vue, il faut reconnaître que la représentation des fonctions de deux variables par des ordonnées de surfaces, est de peu d'utilité pratique : car, s'il est facile de tracer sur un plan une courbe dont on connaît un nombre fini de points, suffisamment rapprochés, on manque de procédés commodes pour figurer dans l'espace une surface dont on ne connaît qu'un nombre fini de points, ou même une surface dont on connaît la loi de génération ; et cette difficulté a fait naître la branche de la géométrie à laquelle on donne le nom de géométrie descriptive, dont l'objet est de ramener les constructions qui devraient se faire dans l'espace, à des opérations graphiques sur un plan.

126. De tous les procédés de la géométrie descriptive pour la détermination des surfaces à l'aide de constructions planes, le plus général, et le seul dont nous ayons à nous occuper ici, à cause de 3a liaison très directe avec la théorie analytique des fonctions, consiste à couper la surface par une série de plans horizontaux, et à projeter sur le plan horizontal xy les courbes d'intersection que l'on appelle des lignes de niveau, les courbes projetées et leurs projections devant être parfaitement superposables, à cause du parallélisme des plans.

Pour chaque ligne de niveau on aura s=c, c désignant une constante quelconque : par conséquent dz »0, ou

pdx+qdy = 0,

équation différentielle commune à toutes les projections des lignes de niveau, et d'où l'on tire

ce qui fait connaître, pour chaque point (œ, y), la direction

de la tangente à la projection d'une ligne de niveau, passant par ce point.

Lorsqu'on va, du point de la surface dont les coordonnées sont x, y, z, au point infiniment voisin qui a pour coordonnées x-\- dx, y + dy, z -f dz, on s'élève verticalement de ïa hauteur dz , et Ton décrit , parallèlement au plan horizontal, la ligne infiniment petite l//5â?i"+dyï. La pente de la ligne décrite sur la même surface, ou la tangente de l'angle qu'elle fait avec le plan horizontal, a donc pour mesure

dz p + gy'

La grandeur de cette pente varie, en un même point de la surface, ou pour les mêmes valeurs de x, y, />, q, avec le rapport arbitraire yr. Si l'on veut déterminer la direction de la ligne déplus grande pente, on égalera à zéro la dérivée de l'expression précédente, considérée comme fonction de y'; ce qui donnera

OU

qdx — pdy = 0,

pour l'équation différentielle commune à toutes les projections en xy des lignes de plus grande pente. D'après un théorème connu, la comparaison des équations (6) et (8) fait voir que le système des projections des lignes de niveau est coupé à angles droits par le système des projections des lignes de plus grande pente. Par conséquent, si Ton donne un certain nombre de courbes de l'un des systèmes, suffisamment rapprochées les unes des autres, on pourra tracer avec une approximation suffisante les courbes de l'autre système.

La substitution dans le second membre de l'équation (7), T. t.

JlJ LIVRE m. — GBAPITltt I.

de la valeur de y' tirée de l'équation (8), donne pour la valeur de la pente maximum,

La méthode adoptée maintenant en France , dans les grands travaux topographiques , pour exprimer sur un plan supposé horizontal le relief d'un terrain, consiste en effet à tracer sur le plan la série des projections des lignes de niveau que l'on obtient en coupant la surface du terrain par des plans horizontaux équidistants, et surabondamment la série des projections des lignes de plus grande pente, qui viennent couper les courbes du premier système à angles droits.

127. Lorsque chaque ordonnée verticale ne rencontre la surface qu'en un point, et conserve toujours une valeur finie, les projections des lignes de niVeau forment une série de lignes dont aucune ne coupe les autres, et qui ne reviennent pas non plus sur elles-mêmes, après que z a dépassé certaines valeurs. Ce cas mérite une attention particulière, parce que c'est lui qui se présente dans toutes les questions où la variable z désigne une grandeur physique, fonction de deux coordonnées d'un point matériel. Soit, pour fixer les idées, une plaque circulaire dont le centre est l'origine des coordonnées x, y, et qui a été primitivement échauffée d'une manière quelconque ; on suppose l'épaisseur assez petite pour que la température de toutes les molécules situées snr une # normale aux deux faces de la plaque soit sensiblement la même ; alors, z désignant en ua instant quelconque la température des molécules ou des points matériels situés sur une même normale, deviendra une fonction des coordonnées x, y, du pied delà normale. Cette fonction pourra être positive ou négative, selon la place assignée au zéro des températures , mais elle conservera toujours une

valeur finie, et n'aura en général qu'une seule valeur pour chaque système de valeurs des coordonnés x, y. La loi de cette fonction sera rendue sensible si Ton trace sur le plan

xy une suite de lignes a, /3, y, (fig. 36) qui satisfont à

l'équation différentielle

pdx + qdy = jO,

ou le long desquelles la température conserve la même valeur, et si Ton affecte chaque ligne d'une cote qui indique la valeur de la température pour les points situés sur cette ligne. On appelle lignes isothermes ces lignes d'égales températures dont le système est propre à définir et à représenter graphiquement la loi de la fonction z.

La variable z pourrait désigner, non plus la température d'une particule matérielle, mais sa densité, sa dilatation ou sa contraction, la pression qu'elle éprouve, l'intensité de la lumière qui l'éclairé, celle des forces électriques ou magnétiques qui en émanent, etc. Les caractères généraux de la fonction, les seuls dont nous ayons à nous occuper daus cet ordre de recherches, resteraient les mêmes.

Par extension, et afin de ne pas innover dans les termes sans une nécessité absolue^1 ), nous continuerons d'appeler lignes de niveau celles le long desquelles la fonction z=f(x, y) conserve une valeur constante, bien que la fonction z soit censée représenter une grandeur physique, et non plus l'ordonnée verticale d'une surface dont le point (x, y, z) aurait pour projection horizontale le point (x, y). La variation de la fonction z est nulle quand on passe d'un point au point

(') Autrement, il paraîtrait assez convenable dénommerais isomériqnes celles qui lient ensemble des particules matérielles qui se trouvent dans le même état physique, ou pour lesquelles la grandeur physique que Ton considère, z = f(xy y), à la même valeur. Cette dénomination est analogue à celle de ligne* isothermes, qui a déjà passé dans l'usage.

contigu sur la ligne de niveau : elle est la plus grande possible (pour un même déplacement infiniment petit), quand le déplacement s'opère perpendiculairement à la ligne de niveau [126]. On peut donc qualifier de lignes de variation maximum, celles qui coupent à angles droits les lignes de niveau, et qui correspondent aux projections des lignes de plus grande pente dans la théorie des surfaces.

* 1 28. Les fonctions z dont il s'agit dans le numéro précédent, et qui peuvent comporter ou ne pas comporter d'expression mathématique, ne sauraient devenir infinies, mais elles sont susceptibles d'éprouver des solutions de continuité du premier ordre, consistant dans le passage brusque d'une finie à une autre. Ceci résulte, comme nous Favons expliqué dans un cas analogue [38], de la règle même en vertu de laquelle nous pouvons concevoir qu'une grandeur physique z devient fonction des coordonnés d'un point mathématique {x, y). Admettons, pour fixer les idées, que z désigne la densité de la plaque M {fig. 36) le long de la normale qui a pour pied le point [x , y) , Afin d'attacher un sens physique à cette définition, il faut imaginer une courbe fermée, tracée arbitrairement à la surface de la plaque, et qui comprend le point (x, y) dans l'aire «limitée par son périmètre <x. L'aire w pourra être prise pour la base d'un cylindre droit dont la hauteur serait l'épaisseur de la plaque -, et le rapport de la masse de ce cylindre à son volume sera un certain nombre D, mesurant la densité moyenne du cylindre. Si maintenant on conçoit que l'aire w décroisse indéfiniment sans cesser de contenir le point (x, y), la limite z vers laquelle convergera le rapport variable D, limite susceptible de varier avec les coordonnés x y, sera la fonction de x, y, que l'on prend pour mesure de la densité de la plaque sur la normale élevée au point (x, y). On appliquerait à la mesure de la température ou de toute autre grandeur physique

ce que nous venons de dire au sujet de la mesure de la densité.

En général, la limite z ne changerait pas, quelles que soient la forme des courbes a- et la position du point (x, y) dans l'étendue de Taire w limitée par ces courbes. Elle ne changerait pas non plus, en général, si l'on plaçait le point (x, y) sur le périmètre même de Taire « : car on pourrait substituer à ce point un point infiniment voisin (x±dx, «/+%), compris dans l'intérieur, et pour lequel la valeur delà fonction z ne différerait de celle de la même fonction au point (x, y)que d'une quantité infiniment petite et partant négligeable. Mais néanmoins on conçoit que, pour certaines valeurs particulières dex, y, la limitez peut changer, selon que Taire infiniment petite w comprend tous les points qui avoisinent (x, y), dans toutes les directions, ou ne comprend que les points renfermés entre certaines lignes menées par le point (x, y). Dans ce cas, la différence des valeurs de z, pour deux points infiniment voisins, n'est plus infiniment petite ; ou, en d'autres termes, la fonction % éprouve une solution de continuité du premier ordre, consistant dans le passage brusque d'une valeur finie à une autre.

On aura un exemple des solutions de continuité de cette nature, si Ton imagine la plaque M (fig. 37), formée de deux métaux différents, soudés suivant la ligne np. La den* site de la plaque sera une fonction qui variera brusquement en passant parla ligne de soudure, et siTon prend pour (x, y) un point p situé sur cette ligne, la fonction z aura deux valeurs distinctes, selon que Ton considérera ce point comme appartenant à la portion À où à la portion B de la plaque. Soient zl9 z, ces deux valeurs de la fonction z : la limite dont il était question tout à l'heure sera égale à

216 LIVRE ffl. — CHAPITRE I.

quand le point fx tombera dans l'intérieur de l'aire *>; elle aura pour valeur zt9 lorsque le périmètre <x passera par le point fx et sera situé à gauche de la tangente st ; enfin elle aura pour valeur z% lorsque le périmètre passera encore par le point |x, mais sera situé à droite de la môme tangente.

Nous appellerons lignes de rupture les lignes telles que np, le long desquelles la fonction passe brusquement d'une valeur finie à une autre.

Plusieurs lignes de rupture np> v!p\ n"p\ etc. (fig. 38) peuvent avoirune intersection commune en fx. Par le point f* menons à ces lignes les tangentes st, stVJ $T, etc., et désignons par «t, <*ty *,, etc., les arcs qui mesurent les angles

*f*5f, s'f**", snpt, etc.,

sur la circonférence du cercle dont le rayon est l'unité : la fonction* z aura au point fx des valeurs distinctes zl9 z%, zt, etc., selon que l'on considérera le point fx comme appartenant à l'un ou à l'autre des espaces angulaires

npn', n'pn*, n'up/eto. (a)

La limite z, avec laquelle cette fonction coïncide en général , aura pour valeur

• at %i + at Z% + a9 %z + etc.,

lorsque le point fx tombera dans l'intérieur de l'aire « ; et elle prendra les valeurs %t9 z%9 z% , etc., lorsque le périmètre a-, étant assujetti à passer par le point fx, sera de plus entièrement compris dana l'un des espaces angulaires (a). Les lignes de rupture, quand elles existent, empêchent les lignes de niveau d'être des courbes fermées. Ainsi, np {fig. 39) étant une ligne de rupture, une ligne de niveau partie du point fx, à gauche de la ligne de rupture, viendra en général aboutir à droite de la même ligne, à un point v, distinct de fx.

Réciproquement, on peut considérer la ligne de rupture comme une ligne qui joint* les points de rupture des lignes de niveau consécutives, lorsque ces lignes, et par suite la fonction z, éprouvent des solutions de continuité du premier ordre.

Les solutions de continuité du second ordre , éprouvées par la fonction 2, sont caractérisées par l'existence de points saillants dans les lignes de niveau : si l'on joint les points saillants qui se correspondent dans les lignes de niveau consécutives, on tracera une autre ligne que Ton peut nommer ligne de rupture du second ordre ; et ainsi de suite.

129. Passons à ce qui concerne les fonctions de trois variables indépendantes

quand on suppose que u désigne la valeur, au point (x, y, z) d'une certaine grandeur physique, telle qu'une force attractive ou répulsive, une densité, une pression, une température, etc.

Si Ton pose

dj{x,y,z) d.f(x,y,z)^ rf/(g/y>*)T dx ~X' dy -*' Tz L%

on aura

tfu = X<fo + Ydy + Zdz, expression dans laquelle chacune des lettres X, Y, Z, désigne en général une fonction de trois variables indépendantes x, y, z. Comme on a d'ailleurs [123] .

dxdy dydx* dxdz dsdxJ dydz dzdy' les fonctions X, Y, Z, devront vérifier les trois équations de condition

rfX tfY rfX dZ rfY dZ dy dx\dz dx'dz dy' En assignant à u une suite de valeurs constantes, on aura

2 i 8 LIVRE m. — CHAPITRE I.

une suite de surfaces qui toutes satisferont à l'équation différentielle

et qui ne devront point se couper ; sans quoi la fonction serait susceptible de prendre, pour le même point matériel, plusieurs valeurs distinctes. Quand la fonction u désigne une température, elles prennent le nom de surfaces isothermes; en hydrostatique, où la fonction u désigne une pression, on les appelle surfaces de niveau ; et par la raison déjà indiquée [127], nous retiendrons cette dernière expression, quelle que soit la signification physique de la fonction u (1).

Les coordonnées x, y, z, étant rectangulaires, la distance du point (#, y, z) au point infiniment voisin (x-\-dx9 y-H%? z+dz) a pour mesure \/d&*-^-dtp+dz% ; et dans le passage d'un point à l'autre, la fonction u prend l'accroissement du-, de sorte que le rapport de F accroissement à la distance des points a pour valeur

Xdx + Ydy \%dz

l^WTdy^Tdi^ ' ou

X + Yy' + Z*'

\/\ + y" W*/ w en posant, pour abréger,

du , dz

dx dx

La grandeur de ce rapport varie, en un même point de l'espace, ou pour les mêmes valeurs des quantités X, Y, Z, avec les rapports arbitraires y ', *', qui déterminent la direction suivant laquelle le déplacement a lieu. Quand on applique à la quantité (m), considérée comme fonction de y', z\

(f) On pourrait nommer aussi les surfaces dont il s'agit, surfaces ismiriquts. Voir la note de la page Î20.

la méthode qui sera indiquée plus loin, pour la détermination des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables, on trouve que la valeur maximum du rapport (m)

est

et que les lignes de variation maximum rencontrent à angles

droits les surfaces de niveau.

* 130. La théorie des solutions de continuité, pour les fonctions d'une ou de deux variables qui représentent des grandeurs physiques [38 e* 128], s'étend sans difficulté aux fonctions de trois variables. Admettons, afin de fixer les idées, que u désigne la densité du corps M au point(oj, y, z). Pour préciser le sens de cette définition, il faut imaginer une surface fermée w, menée arbitrairement dans l'intérieur du corps, de manière seulement à entourer le point (#, y, z). Le rapport de la masse du volume v, enveloppé par la surface, à ce volume même, est un certain nombre D qui mesure la densité moyenne de v. Si maintenant on conçoit que, par la variation continuelle de la surface w, les dimensions du volume v décroissent indéfiniment, sans que le point (ar, y, z) cesse de s'y trouver compris, la limite vers laquelle converge le rapport variable D est cette fonction u de x9 y, z, que Ton prend pour mesure de la densité du corps au point (#, y: z). On appliquerait cette définition, mutatis mu tandis, à la mesure de la température ou de toute autre grandeur physique.

D'après cela, il est aisé de concevoir comment la fonction u, continue en général, peut passer brusquement^ d'une valeur finie à une autre, pour les points situés sur de certaines surfaces, que nous appellerons pour cette raison suiv faces de rupture. Soient f* un point situé sur une telle surface ; À et B les deux portions de M séparées par la surface ; utf us, les valeurs delà limite u pour deux points infiniment

voisins de p, l'un en A, l'autre en B : la valeur de la limite au point jx sera

~ 2~ # Si le point fi est l'intersection commune de plusieurs surfaces de rupture, on mènera les tangentes aux lignes d'intersection de ces surfaces au point f* ; on imaginera une sphère décrite du point jx comme centre avec le rayon 1 ; on joindra deux à deux par des arcs de grands cercles les points où les tangentes pénètrent la surface sphérique, et Ton divisera ainsi cette surface en compartiments dont les aires rlf :,,!,, etc., correspondront aux régions du corps M, pour lesquelles la limite u prend, dans le voisinage immédiat du point |x, les valeurs ui9 tif, n8, etc. Cela posé, la valeur de cette fonction au point jx sera la moyenne

u i Ti + u i Ti + **> T» + etc. ut Tt +«, ra -4- ut t, + etc.

Ti + Ti + T« + ©te. 4w

On peut considérer la surface de rupture comme le lieu des lignes de rupture des surfaces de niveau, lorsque ces surfaces, et par suite la fonction u, éprouvent des solutions de continuité du premier ordre.

Les solutions de continuité du second ordre , éprouvées par la fonction u, correspondent à des arêtes ou à des lignes saillantes sur les surfaces de niveau : le lieu des arêtes qui se correspondent sur les surfaces de niveau consécutives, est une autre surface que l'on peut qualifier de surface de rupture du second ordre, et ainsi de suite.