CHAPITRE n

DIFFÉRENTUTION DE9 FONCTIONS IMPLICITES D'UNE OU DE PLU- SIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. — CHANGEMENT DE VA- RIABLES.

§ 4". Différentiation des fonctions implicites.

131 • Lorsque la variable y est déterminée implicitement en fonction de x par l'équation non résolue

le premier membre de l'équation peut être regardé èomme une fonction u des variables x, y, assujettie à rester constamment nulle, en sorte que les incréments dx> dy sont liés par r équation

__du mt^uétt^uk ty du du

~~ dx dy V^J dx dx' dy'

Au lieu d'employer le signe auxiliaire u, on peut écrire

df(x>y)j„ , dffay)^*

ou plus simplement encore

ÏLdx+iLdy = 0.

dx dy

Quand on emploie y1 pour désigner le coefficient différentiel —, cette équation prend la forme

d'où

dx ' dy '

En général, le second membre de cette équation est une fonttioa explicite des deux variables s, y ; lorsqu'on 7 sub-

222 LIVRE Ul. — CHAPITRE II.

stitue la valeur de y en x, tirée de l'équation (a), y ' se trouve exprimé en fonction de la seule variable x. Si l'équation (a) est algébrique, on peut encore éliminer y entre (a) et (a') par les méthodes ordinaires ; et l'équation résultante, qui, en général, n'est pas résoluble algébriquement par rapport à t/r, détermine implicitement y1 en fonction de x.

A cause des liaisons qui subsistent entre la variable indépendante x et chacune des fonctions y, y', le premier membre de (a') est une fonction de x qui doit rester nulle, quelque valeur que prenne x. Donc la dérivée de ce premier membre, prise en traitant y, y' comme des fonctions de x, est nulle, et Ton a entre x, y, y', y", l'équation d%f d*f d%f df

de sorte qu'on peut éliminer deux quelconques de ces quatre variables entre (a), (a'), (a".). Si Ton chasse par exemple y', on aura entre x9 y, y" l'équation

£1 ClJ>\ -*£L d-±îï±*l (ÉL\\(dJ\ •-•

dx*' \dy) dxdy' dx ' iyT rfy» \dxj ^KdyJ y '

De même, pour déterminer y'", on prendrait la dérivée par rapport à x du premier membre de (a"), en appliquant toujours la règledeladifférentiation des fonctions médiates, ce qui donnerait

dx*^ dx*dyy ^ dxdy*y ^ rfy» y

+3 Tzry' + 3 tV y" + jf=o.

H n'y a aucune difficulté à continuer ce calcul de proche en proche, ni à construire immédiatement la formule qui donnerait la valeur de y{u).

132. Quand on a un nombre n d'équations entre n+ i variables, ce système ne laisse qu'une seule variable indé-

pendante dont toutes les autres sont des fonctions qui s'exprimeraient explicitement , si l'élimination entre les proposées et la résolution des équations résultantes pouvaient s'opérer.

Désignons, pour abréger, par

A = 0,/i = 0,A = 0, />.= <>, (ft)

les équations qui lient entre elles les variables t, x9 y,

z , en nombre n+i : on aura aussi les équations

dérivées

dft = ^dt+^dx +?àdy + ?fldz + etc. =0, ai dx dy dz

dft = ^ dt + ?£ dx +^ du + ?àdz + etc. = 0, . „ ' dt dx dy J dz ) (*0

df. = d-Ùdt + ^ dx + pdy=^dz+etc. = 0. dt dx dy dz

Maintenant, si la variable indépendante est t, on divisera toutes les équations (br) par dt , et Ton aura n équations linéaires entre les n coefficients différentiels dx dy dz

Tt'di>!t>etc"

au moyen desquelles ces coefficients seront individuellement déterminés en fonction de t, x, y, z, etc. De même les équations

que l'on obtiendra par la différentiation des équations (b'), en considérant x, t/, *, etc., comme des fonctions de <, détermineront les dérivées du second ordre

et ainsi de suite. Nous avons surmonté d'un trait les quantités d* ft, d* ft, etc., pour montrer qu'elles indiquent des différentielles totales , et non des différentielles partielles [118].

Afin de mieux fixer les idées, supposons qu'on ait entre les trois variables x, y, z, les deux équations A(0,fc*) = O, A(».îf,*) = Of et que l'on prenne x pour variable indépendante : une première différentiation donne

De là on tire

, = (dA *fi*L *f±X(dli dl±dl± dJi\

y \dx' dz dz* dxJ'Kdy9 dz dz' dyj '

\dy* dx dx* dy)\dy' dz dz* dy)* Une seconde différentiation conduit aux équations du second ordre

dx* dxdy* dxdz ^ dydz

dx* dxdyu dxdz dydz

dy%* dz* dyJ dz '

et celles-ci donneront les valeurs de y " , z", en x9 t/, z> après qu'on y aura substitué celles de y\ z\ tirées des équations précédentes. On pourra ensuite opérer l'élimination de y, z, au moyen des deux proposées, de manière à obtenir deux équations finales, l'une en x, t/", l'autre en x, z".

On déterminerait de la même manière les coefficients y"', z'", et ainsi à l'infini.

133. Passons au cas où le nombre d'équations entre les variables laisse plusieurs de celles-ci indépendantes ; et pour prendre l'hypothèse la plus simple, admettons que l'on ait entre trois variables x, y, z, l'équation unique

on en déduit toujours

df=déd*+d{d*+ïdi=«> <*>

équation qui lie entre elles les différentielles totales des variables x, y, z. Mais, en général, ce quon se propose de calculer, ce sont les dérivées partielles de la variable que l'on considère comme fonction, prises par rapport à chacune des variables indépendantes [118]. On les tirera de l'équation précédente, après qu'on aura fixé celles des variables qui doivent être traitées comme indépendantes. Admettons que ces variables soient x et y, et posons [124]

dz=pdx + qdy :

l'équation (e') deviendra

et comme elle doit subsister, quel que soit le rapport arbitraire des variations dx, dy, elle se décompose dans les deux

suivantes

df df A df df

d où l'on tirera les valeurs de p, ç, exprimées généralement en fonction de x, y, z. On pourra ensuite chasser z au moyen de l'équation (c).

Si Ton différentie l'équation (c), en traitant x et y comme des variables indépendantes , et par conséquent dx , dij

comme des facteurs constants, il viendra rfV dlf d*f

+»(&** -fâ**+;&**)+5*'=*- «

On a , pour la différentielle totale d*z, l'expression convenue [124]

d*z = rdx* + %$dxdy f tdy* :

substituons cette expression et celle de la différentielle totale dz dans l'équation (c"), nous aurons

\7zr + dï>p±*d^zp+d?)dx

±*{df*jL-d%f ni W n + d%f™U- *' W„

. fdf *f A d*f d*f\ . . A V/z d*» * efyrfz * dy*J J Comme cette équation doit être satisfaite indépendamment des facteurs arbitraires dx, dj/, elle se décompose en trois autres qui deviennent , après la substitution des valeurs de p, q, tirées des équations (d) ,

f**\\ **L *L îl + t-f (dJ\*±<!ï {US*-* XàfJ dxdz ' dx'dz • dz*' Wy ■*" d& \dx) ~ *

(df\\ df (d*f df ^ d*f df\

\dz' dz " \dydz ' tfa? «tetf* " dy)

+ *L [dl\\*ldJdl=z

dxdy \dz) dz*' dx* dy *

\tf*/ (fytfz <fy d* dsf \dy/ dy* \dzj

On arrivera plus directement au même résultat , si Ton considère que les équations (d) ayant lieu, quels que soient x et y, on peut égaler à zéro les dérivées des premiers membres, prises successivement par rapport à x et par rap-

DIFFÉRENTUTION DES FONCTIONS IMPLICITES, til

port à y; en ne perdant pas de vue, d'une part, que les dérivées partielles

df df df

dx9 dy' dz contiennent en général les trois variables #, y, z; d'autre part, que z, />, q sont des fonctions implicites de x, y, telles que Ton a

dz d*__ dp dp dq dq

dx~P'dlj-9' dx~r'Iy'~Tx~*'iry-U On obtiendra ainsi quatre équations dont deux seront identiques : en effet , les équations {d) peuvent s'écrire

dx dy

les traits supérieurs indiquant que Ton a différentié la fonction/* par rapport à x ou à y, en ayant égard, non-seulement aux variables x, y qui entrent explicitement dans la composition de /*, mais à la variable z qui dépend implicitement de a? et de y en "vertu de l'équation (c). Cela posé, la dérivée de la première équation (d) par rapport à y, et celle de la seconde équation (d) par rapport à x, doivent être identiques, l'une et l'autre pouvant s'indiquer, suivant la même notation, par

dxdy

On déterminerait de même les dérivées partielles des ordres supérieurs pour des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes, liées par un nombre quelconque d'équations, sans d'autre embarras que celui qui naîtrait de la prolixité des calculs.

* 134. Nous avons plusieurs fois invoqué le principe, qu'une fonction algébrique, explicite ou implicite, qui s'évanouit ainsi que toutes ses dérivées successives pour une valeur particulière de la variable indépendante , est identi-

quement nulle. Ce principe, qu'on a coutume d'admettre tacitement, pour toute espèce de fonctions, exige d'être démontré, d'autant plus qu'il cesse d'être vrai généralement, pour des fonctions non algébriques. Or, on le démontre très aisément, dès qu'on a établi la règle de différentiation des fonctions implicites.

Soit en effet y une fonction de x, déterminée par l'équation algébrique

les coefficients Y., etc., désignant des polynômes entiers en y. On peut, sans restreindre la généralité de la démonstration , supposer que zéro est la valeur de x qui fait évanouir V > y'? y"> etc- Or» P011* que y s'évanouisse en même temps que rc, il faut que Y0 soit de la forme Tcy, T0 désignant un autre polynôme en y. Substituons cette valeur de Y0 dans l'équation (g) et différentions : il viendra

nYuar~l + (n — 0 Y.^ar*1 +....+ 2Yfa? + Y, + j' (Y'. ar+Y'..t a?-'+.. . .+ Y'f & + Y\x 4-r0+ ?\ y)= 0.

Pour x=0, on a par hypothèse t/=0, et cette équation se

réduit à

Yt + y9 r0 = 0.

Mais, par hypothèse aussi, on doit tirer de l'équation précédente t/'=0 : donc Y, est divisible par y et de la forme T,y. En passant à la seconde dérivée de l'équation (j), on a

<»— \ Y. ar-1 4- (n— 4) (n— 2) Y-x ar-* -K . . .-4- 2 Y,

+ 2î(>Y'.ar-1 + (n--0Y\lar-i+ + «Y't*+rI+i*iy]

+ y* [Y", cet -+- YVi ar-*+ +Y% a» + Y\ a>+2 r'c + **<#]

+ y"[Y'.s-+Y'.ia?-1 + + Y^* + Y\*+r0 + r'of]=0.

Quand on fait à la fois #=0, j/=0, y — 0, cette équation se réduit à

donc , si y" doit s'évanouir en même temps, il faut que

Y, soit de la forme Tftj . En procédant toujours de la même manière, on prouverait que y est facteur commun de tous les termes de l'équation (</), de laquelle on tire par conséquent tp=0, quel que soit x, ce qui démontre la proposition énoncée.

Il suit de là, comme on Ta annoncé [37 et 103], qu'une fonction exprimée dans une portion de son cours par la fonction algébrique fx9 et dans une autre portion par la fonction algébrique ftx, non identique avec la première, éprouve nécessairement une solution de continuité, d'un ordre plus ou moins élevé , pour la valeur de x qui correspond au raccordement des fonctions ff ft : car autrement la fonction

algébrique

y = fx — fxx

s'évanouirait , amsi que toutes ses dérivées, jusqu'à l'infini , sans être identiquement nulle , contrairement à ce que Ton vient de démontrer.

135. Nous avons admis aussi [70], et l'on admet communément, mais sans démonstration formelle, que la fonction

/** dx

. log X = / — J \ X

constitue une transcendante irréductible, qui ne pourrait s'exprimer par une fonction algébrique, explicite ou implicite. Voici le calcul très simple par lequel M. liouville établit cette proposition importante (').

Eti premier lieu, si log x pouvait être exprimé par une

fonction algébrique explicite «f-, dans laquelle X, Xt désignent des polynômes entiers en x, qu'il est permis de supposer premiers entre eux, ladifférentiation donnerait

(') Journal de Mathématiques, t. II, p. 66.

230 LIVRE m. — CHAPITRE H.

1 ±±1 AAl 0U±L — X'X —XX' •

d'où il suit queX, est divisible par x, et que X ne Test pas ;

sans quoi il ne serait pas premier avec X, . On peut donc

poser

X1 = rs,d,oùX'1 = ncr-Ia + a-s',

S désignant un polynôme non divisible par x, et n un exposant positif entier : en conséquence , il vient

a?u-lE»« x"2X' — nar-»2X— s-s'X, ou

nSX=a? (SX' — S'x) — & Sf, équation absurde , puisque le second membre est divisible par x, tandis que le premier ne l'est pas.

Supposons maintenant que la fonction y=log x puisse être déterminée implicitement par l'équation algébrique

f(a?,îrt=x.!r+x.-1iri+ +x1t/ + x.=o, (h)

les coefficients X. , etc., désignant des polynômes entiers en

x : on aurait

df df ,

et en remettant pour y' sa valeur donnée par la définition de la fonction logarithmique ,

Or, si Tune des racines de l'équation (i), supposée irréductible» c'est-à-dire non décomposable dans des facteurs rationnels en x, a la propriété de satisfaire identiquement à l'équation (ft), celle-ci, dont le premier membre est une fonction rationnelle de x9 sera aussi vérifiée identiquement par toutes les autres racines de l'équation (t). Donc, en désignant par yi9 y ,,.... ym, ces racines qui sont en général autant de fonctions différentes de x , on aura

dx . dx dx ,

— = «»n — = oyi^ •••• — = <*y*»