XX X

et par suite

ce qui vient d'être démontré impossible.

La transcendante e* ne peut pas davantage s'exprimer algébriquement : car l'équation f (x, e*)=0 , f étant une fonction algébrique, équivaut à fi}og y, t/)=0, dont on vient de prouver l'impossibilité.

Au contraire, les sinus et cosinus et les arcs de cercle ne constituent pas des transcendantes irréductibles algébriquement; puisque ces transcendantes se convertissent en exponentielles et en logarithmes , et que la complication des radicaux imaginaires ne change rien à la nature de la fonction , au point de vue de l'algèbre.

Les puissances à exposants irrationnels ne constituent pas non plus des transcendantes irréductibles, puisque l'expression y= #* équivaut à y= e« l0* * ; et qu'ainsi l'opération sur x9 indiquée par #*, « désignant un nombre irrationnel , peut se résoudre dans l'opération sur x indiquée par la caractéristique log x, et dans l'opération sur u indiquée par la caractéristique e\

Il resterait à montrer que les fonctions e*, log x sont aussi irréductibles entre elles ; mais , pour cette démonstration plus compliquée que les précédentes, nous renverrons au mémoire cité de M. Liou ville.

En général, la preuve de l'irréductibilité des diverses fonctions transcendantes est un sujet de recherches qui font suite à celles dont l'objet est la divisibilité des nombres et la décomposition algébrique des équations. Elles ont pour caractère commun de tendre au perfectionnement de la théorie plutôt qu'au progrès des méthodes sur lesquelles

232 LIVRE m. — CHAPITRE H.

reposent les applications du calcul. Comme on procède presque toujours dans ces recherches par la réduction à l'absurde, on doit s'attendre à y rencontrer les difficultés et les complications d'un mode de démonstration qui atteint la rigueur logique, mais qui n'éclaire point Pesprit sur l'enchaînement rationnel et. sur la génération des vérités démontrées.

§2. Changement de variables.

136. C'est ici le lieu de traiter généralement du changement des variables indépendantes, sujet que nous n'avons fait qu'indiquer en exposant les principes de la théorie des dérivées et des différentielles [30 et 56].

Supposons que, dans l'hypothèse où y est considéré comme fonction de la variable indépendante x, cette fonction et ses dérivées des divers ordres entrent dans la composition d'une formule

il s'agit de savoir comment les dérivées

dy d'y d'y

dx9 dx*' dx*'

doivent s'exprimer en fonction d'une troisième variable tr prise pour variable indépendante, et liée à x, y, au moyen

de l'équation donnée

En différentiant (9) par rapport à la variable indépendante tj on obtient une suite d'équations dérivées

df dx df dy d?n . ,N

dxH^Ty'dt^dt' tr)

df d?x df d*y , #? d& d*f dy*

dx'dt* +dy'dT9 + <&' dt*+ djf'dt*

, «( *? dx dy £?^ dx #? dy\ dV__0 ,„

^ \dxdy' dt'dt^ dxdt* dt ^ dydt'dt' ^ di'~ ' Kf '