CHANGEMENT DE VARIABLES

df dfx d9 <Py , „,.

dx dt* dy dr etc.

Mais on a d'autre part

, dy dymdx

y ~dx~~dtl dt' d'où l'on tire

"dF — ? dt~ \dt dt* dt' dt*':^àt' ' et par conséquent

„ d?y rdx çty dy dm rdxV

V ~dx*~Ldt'dt* dtmdt*\:ldt\'

Le même calcul donne #y[(dx\> ^ dxdte #y.„dy (<W fàfydKl (d£Y

<&~ LU/ ** #'<fti"tf,+ df U'J * * d^Jv^r et ainsi de suite.

Au moyen des équations (<p), (9'), (<p")> etc., on pourra chasser des formules précédentes la variable x et ses dérivées

dx d*x d^B

dt' dt*J dt*' ;

de manière qu'après qu'on aura reporté dans (/") les valeurs

de

dy d'y Vy

*'dï'W' dx>> '

cette formule ne renfermera plus que dy d*y d*y

*'y'it* *»**•• ''

on la ramènerait de même à ne contenir que dx d*x <Px

'il' W et* 137. Le changement de variable indépendante n'est qu'un

234 LIVRE m. — CHAPITRE II.

cas particulier du changement de variables. Si Ton veut substituer aux variables x, y qui entrent dans la composition de l'équation (f) deux nouvelles variables v et t, liées aux premières par deux équations

f(x,y,v,t) = 0, 1>(x,ytv9t) = Q,

où t désigne la variable indépendante, on prendra les dérivées successives de ces dernières équations, en y considérant x, y, v comme des fonctions implicites de t ; et Ton aura une suite d'équations que nous désignerons, pour simplifier, par

Elles seront en nombre 2n, si -P| est le plus haut coefficient

différentiel qui entre dans (/*)• Au moyen de ces 2n équations, jointes aux deux équations dont elles dérivent, on exprimera

dx d^x drx dy d*y dry

**•*' dt*' dr;y'dt'dr*> dr (1>

en fonction de

dv d*v drv

'"'Tt'd?' d?; (î)

on substituera les expressions obtenues dans les valeurs de

dy <Ty dry

dx9 dx*' dxr

en fonction des quantités (1), et Ton aura enfin la formule (/^ exprimée au moyen des quantités (2).

138. 11 suffit d'indiquer l'extension que comporte cette analyse, dans le cas de deux variables indépendantes. Soit

r dz d% d*z d*z d*z n

FL*fc*S*^ *?•**'*=•■■ '\T° (F)